1.3 Vorkenntnisse
Gute Kenntnisse der Linearen Algebra werden benötigt, allerdings weniger die »Feinheiten« der Theorie von Vektorräumen und ihrer Homomorphismen (auch wenn der Dimensionsbegriff, mit dem wir den Grad einer Körpererweiterung definieren werden, wichtig ist und wir auch auf die Eigenwerttheorie für Vektorraumendomorphismen zurückgreifen werden), sondern vor allem:
der Begriff der Gruppe,
der Begriff des (kommutativen) Rings und des Körpers, und zum Beispiel des Polynomrings, des Quotientenkörpers eines Integritätsrings und des faktoriellen Rings,
die Konstruktion des Quotienten einer Gruppe nach einem Normalteiler und eines Rings nach einem Ideal (und seine Eigenschaften, vor allem der Homomorphiesatz).
Menschen, die von der Algebra nichts wissen, können sich auch nicht die wunderbaren Dinge vorstellen, zu denen man mit Hilfe der genannten Wissenschaft gelangen kann.
G. W. Leibniz
Auch wenn wir die in der Linearen Algebra schon behandelten Themen teilweise wiederholen werden, werden diese ziemlich schnell abgehandelt, und es ist wichtig, dass Sie, was diese Begriffe angeht, schnell »arbeitsfähig« sind, also mit diesen Begriffen ohne langes Nachdenken umgehen können, weil wir weiter darauf aufbauen werden. Das gilt in besonderem Maße für die Quotienten von Gruppen und Ringen. Diese spielen in allen Kapiteln eine sehr wichtige Rolle – wiederholen Sie gegebenenfalls noch einmal, was wir in der Linearen Algebra dazu schon gelernt haben. Die Bildung des Quotienten eines Vektorraums nach einem Untervektorraum kann hier vielleicht auch noch einmal nützlich sein, weil sie besser geometrisch veranschaulicht werden kann.
Als konkrete Beispiele von Körpern sollten Ihnen \(\mathbb Q\), \(\mathbb R\), \(\mathbb C\) und die Körper \(\mathbb F_p\) (\(p\) eine Primzahl) geläufig sein.
Aus der Analysis benötigen wir nicht viel. In Abschnitt 5.5.3 benutzen wir den Zwischenwertsatz aus der reellen Analysis. In der zweiten Vorlesungshälfte ist es nützlich, grundlegende Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion \(\exp \colon \mathbb C\to \mathbb C^\times \) zu kennen; insbesondere werden uns die sogenannten \(n\)-ten Einheitswurzeln \(\exp (\frac{2\pi k i}{n})\) (\(n\in \mathbb N_{{\gt} 0}\), \(k\in \{ 0,\dots , n-1\} \)) begegnen, die so heißen, weil es genau die Zahlen in \(\mathbb C\) sind, deren \(n\)-te Potenz gleich \(1\) ist.