$\bullet $ Überlege Dir ein Beispiel zu der Definition. Gibt es “triviale” Beispiele? (Zum Beispiel: Ist $V$ ein $K$-VR, so ist offenbar $V$ ein UVR von $V$.)

$\bullet $ Falls eine Eigenschaft definiert wird: finde ein Beispiel, in dem die Eigenschaft verletzt ist. Gibt es triviale Beispiele, in denen die Eigenschaft erfüllt ist, oder ist es schwierig, die Existenz von Objekten zu zeigen, die die Definition erfüllen?

$\bullet $ Wenn eine Konstruktion beschrieben wird: Führe die Konstruktion an einem konkreten Beispiel durch. (Zum Beispiel: Berechne zum Verständnis der Definition des charakteristischen Polynoms das $\mathop{\rm charpol}\nolimits $ einer konkreten $2\times 2$-Matrix, einer konkreten $3\times 3$-Matrix.)

$\bullet $ Hat die Definition einen geometrischen Gehalt? (Zum Beispiel: ein Vektor $v\in V\setminus \{ 0\} $ ist genau dann ein EV von $f\in \mathop{\rm End}\nolimits _K(V)$, wenn die Gerade $\langle v\rangle $ von $f$ in sich selbst abgebildet wird.)

$\bullet $ Vollziehe die Aussage des Satzes anhand eines konkreten Beispiels nach. (Zum Beispiel: Überprüfe den Satz von Cayley-Hamilton für eine konkrete $2\times 2$-Matrix.)

$\bullet $ Lässt sich sinnvoll eine Umkehrung des Satzes formulieren? Wenn ja: Ist die Umkehrung gültig oder falsch?

$\bullet $ Studiere den Beweis des Satzes — einerseits allgemein, andererseits im Fall eines konkreten Beispiels.

$\bullet $ Versuche, Beispiele zu finden, die zeigen, dass alle Voraussetzungen im Satz wirklich nötig sind. Wo gehen die einzelnen Voraussetzungen im Beweis ein?

$\bullet $ Überlege, ob sich der Beweis vereinfachen lässt. Versuche, alternative Beweise zu finden. Lässt sich der Beweis unter (sinnvollen) zusätzlichen Annahmen vereinfachen?

$\bullet $ Hat der Satz einen geometrischen Gehalt?

$\bullet $ Wird der Satz (das Lemma, …) in späteren Beweisen benutzt? Ist die Aussage des Satzes ein Spezialfall einer später bewiesenen allgemeineren Aussage?

$\bullet $ Beschäftige Dich intensiv mit den Übungsaufgaben.

$\bullet $ Überlege eigene Übungsaufgaben zum Vorlesungsstoff. Wenn unter den Hausaufgaben “Rechenaufgaben” sind: Überlege, wie man “gut lösbare” Aufgaben dieser Art findet.

$\bullet $ Schaue regelmäßig in Lehrbücher zur Linearen Algebra und vergleiche die entsprechenden Abschnitte dort mit der Vorlesung.