Lineare Algebra II, SS 2011.
Notizen zur Vorlesung.

Inhalt

2 Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom

$K$ Körper, $V$ endlich-dimenionaler $K$-VR.

2.1 Charakteristisches Polynom

Definition 2.1

  1. Sei $n\ge 0$ und $A\in M_{n\times n}(K)$. Dann heißt das Polynom $\mathop{\rm charpol}\nolimits _A(X):=\det (XE_n-A)\in K[X]$ das charakteristische Polynom der Matrix $A$.

  2. Sei $f\colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus von $V$, $\mathscr B$ eine Basis von $V$, $A = M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)$. Dann ist $\mathop{\rm charpol}\nolimits _A(X)$ unabhängig von der Wahl der Basis $\mathscr B$ und heißt das charakteristische Polynom des Endomorphismus $f$.

27.4.

Satz 2.2

Sei $f\colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus von $V$, $\chi $ sein charakteristisches Polynom. Dann ist $\alpha \in K$ genau dann eine Nullstelle von $\chi $, wenn $\alpha $ ein Eigenwert von $f$ ist.

Sei $n=\dim V$, $f\in \mathop{\rm End}\nolimits _K(V)$ mit charakteristischem Polynom $\chi $. Dann gilt

\[ \chi = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0, \]

d.h. $\chi $ ist normiert vom Grad $n$. Außerdem ist $a_0 = \det (-f) = (-1)^n \det f$.

Definition 2.3

Eine Matrix $A\in M_{n\times n}(K)$ heißt trigonalisierbar, wenn $A$ zu einer oberen Dreiecksmatrix konjugiert ist. Ein Endomorphismus von $V$ heißt trigonalisierbar, wenn eine Basis von $V$ existiert, so dass die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis eine obere Dreiecksmatrix ist.

Satz 2.4

Eine Matrix (ein Endomorphismus) ist genau dann trigonalisierbar, wenn ihr (sein) charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Spur einer Matrix, eines Endomorphismus

Sei $n=\dim V$, $f\in \mathop{\rm End}\nolimits _K(V)$ mit charakteristischem Polynom $\chi $, und schreibe

\[ \chi = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0. \]

Dann heißt das Element $-a_{n-1}\in K$ die Spur des Endomorphismus $f$. Für eine Matrix $A=(a_{ij})_{i,j}\in M_{n\times n}(K)$ nennt man entsprechend das Negative des Koeffizienten von $X^{n-1}$ im charakteristischen Polynom von $A$ die Spur, $\mathop{\rm Spur}(A)$, von $A$. Es gilt

\[ \mathop{\rm Spur}(A) = \sum _{i=1}^n a_{ii}. \]

2.2 Minimalpolynom

2.5.

Sei $A\in M_{n\times n}(K)$, und sei $\Phi \colon K[X]\rightarrow M_{n\times n}(K)$ der Ringhomorphismus mit $\Phi (a) = aE_n$ für alle $a\in K$ und $\Phi (X) = A$. Wir schreiben $K[A]$ für das Bild von $\Phi $—dies ist ein kommutativer Unterring von $M_{n\times n}(K)$, der $K$ enthält (und auch ein $K$-Vektorraum ist).

Definition 2.5

Mit den obigen Notationen definieren wir: Das Minimalpolynom $\mathop{\rm minpol}\nolimits _A$ von $A$ ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom $p\in K[X]$ mit $\mathop{\rm Ker}\Phi = (p)$.

Ist $f\in \mathop{\rm End}\nolimits _K(V)$, so haben alle Matrizen, die $f$ bezüglich einer Basis von $V$ beschreiben, dasselbe Minimalpolynom. Wir nennen dieses Polynom das Minimalpolynom von $f$ und bezeichnen es mit $\mathop{\rm minpol}\nolimits _f$.

2.3 Der Satz von Cayley-Hamilton

Definition 2.6

Sei $f\in \mathop{\rm End}\nolimits _K(V)$. Ein Unterverktorraum $U\subseteq V$ heißt $f$-invariant, wenn $f(U)\subseteq U$.

Definition 2.7

Sei $f\in \mathop{\rm End}\nolimits _K(V)$. Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ heißt $f$-zyklischer Unterraum, falls $u\in U$ existiert mit $U = \langle u, f(u), f^2(u), \dots \rangle $.

Lemma 2.8

Sei $U\subseteq V$ ein $f$-zyklischer Unterraum, $u$ wie in der Definition und $i= \dim U$. Dann ist $u, f(u),\dots , f^{i-1}(u)$ eine Basis von $U$.

Definition 2.9

Sei $f = X^n + \sum _{i=0}^{n-1} a_i X^i\in K[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Dann heißt die Matrix

\[ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & & & & -a_0\\ 1 & 0 & & & -a_1\\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & \vdots \\ & & & 1 & -a_{n-1} \end{array} \right) \]

die Begleitmatrix von $f$.

Bemerkung. Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ ist genau dann $f$-zyklisch, wenn $f(U)\subseteq U$ und eine Basis von $U$ existiert, so dass die Matrix von $f_{|U}$ bezüglich dieser Basis die Form einer Begleitmatrix hat.

Lemma 2.10

Sei $A\in M_{n\times n}(K)$ die Begleitmatrix des normierten Polynoms $f$ (vom Grad $n$). Dann gilt $\mathop{\rm charpol}\nolimits _A = f$.

Übung. Das Minimalpolynom der Begleitmatrix von $f$ ist $f$.

4.5.

Satz 2.11 Cayley-Hamilton

Ist $A\in M_{n\times n}(K)$, so gilt $\mathop{\rm charpol}\nolimits _A(A)=0 (\in M_{n\times n}(K))$. Ist $f$ ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen $K$-Vektorraums $V$, so gilt $\mathop{\rm charpol}\nolimits _f(f) = 0 (\in \mathop{\rm End}\nolimits _K(V))$.

Beweis

Sei $f\in \mathop{\rm End}\nolimits _K(V)$, $\chi = \mathop{\rm charpol}\nolimits _f$. Zu zeigen ist $\chi (f)(v)=0$ für alle $v\in V$. Zu $v\in V$ betrachte den $f$-zyklischen Unterraum $U = \langle v, f(v), f^2(f), \dots \rangle $. Es gilt dann $f(U)\subseteq U$ und bezüglich der Basis $v, f(v), \dots , f^{i-1}(v)$, $i = \dim U$, hat $f_{|U}$ als beschreibende Matrix eine Begleitmatrix. Das charakteristische Polynom von $f$ ist ein Vielfaches des charakteristischen Polynoms dieser Begleitmatrix. Daran sehen wir: es genügt, $\chi (f)(v)=0$ in dem speziellen Fall zu zeigen, dass $V$ ein $f$-zyklischer Vektorraum mit Basis $v, f(v), \dots , f^{n-1}(v)$ ist.

In diesem Fall ist $\chi (f)(v)=0$ aber leicht nachzurechnen. Ist nämlich $\chi = X^n + \sum _{i=0}^{n-1} a_i X^i$, so lesen wir aus der letzten Spalte der Begleitmatrix ab, dass

\[ f^n(v) = f(f^{n-1}(v)) = \sum _{i=0}^{n-1} -a_i f^i(v), \]

also

\[ \chi (f)(v) = f^n(v) + \sum _{i=0}^{n-1} a_i f^i(v) = 0. \]

Korollar 2.12

Ist $A\in M_{n\times n}(K)$, so gilt $\mathop{\rm minpol}\nolimits _A | \mathop{\rm charpol}\nolimits _A$.

$\bullet $ Für $A\in M_{2\times 2}(K)$ sei $p_A$ das Polynom
\[ p_A:=\det (X\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)-A)\in K[X]. \]
Zeige, dass für alle $A$ gilt: $\det (A\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)-A) = 0 (\in K)$ (hier bezeichne $A\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$ das Matrizenprodukt), und finde ein $A$ mit $p_A(A)\ne 0 (\in M_{2\times 2}(K))$.