1 Ringe
Referenz: [Bosch, Lineare Algebra, Kapitel 5]
1.1 Definition und erste Eigenschaften
4.4.
Definitionen. Ring (immer mit $1$), kommutativer Ring, Einheit, Einheitengruppe $R^\times $.Rechenregeln. $0a = 0$ für alle $a\in R$. Kürzungsregel gilt im allg. nicht.
Beispiele. $\mathbb Z$, Körper, $M_{n\times n}(K)$ ($K$ Körper).
1.2 Der Polynomring über einem (kommutativen) Ring
$R$ kommutativer Ring.
Definition. Der Polynomring $R[X]$ über $R$ in der Unbestimmten $X$ ist der Ring aller Folgen $(a_i)_{i\in \mathbb N}$ mit nur endlich vielen Einträgen $\ne 0$, mit elementweiser Addition und der Multiplikation
Dies ist ein kommutativer Ring mit $1 = (1,0,0,\dots )$ (und $0 = (0,0,\dots )$).
Wir setzen $X:= (0,1,0,0,\dots )$ und können dann jedes Element in eindeutiger Weise als $\sum _{i\ge 0} a_iX^i$ schreiben (fast alle $a_i = 0$).
6.4.
Die Abbildung $R\rightarrow R[X]$, $a\mapsto (a, 0, 0, \dots )$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus und wir fassen vermöge dieses Homomorphismus Elemente von $R$ als Elemente von $R[X]$ auf. Diese Elemente heißen konstante Polynome.Sei $R$ ein kommutativer Ring, $\varphi \colon R\rightarrow R’$ ein Ringhomomorphismus und $x\in R’$. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus $\Phi \colon R[X] \rightarrow R’$ mit $\Phi (a) = \varphi (a)$ für alle $a\in R$ und $\Phi (X) = x$, nämlich
Wir schreiben in der Situation des Satzes auch ${\rm ev}_x$ für $\Phi $ und $f(x) = \Phi (f)$.
Sei $R$ ein kommutativer Ring, $f= \sum _{i=0}^N a_iX^i \in R[X]$ mit $a_N\ne 0$. Dann heißt $a_N$ der Leitkoeffizient von $f$ und $N$ der Grad von $f$, in Zeichen $\deg f$. Das Element $a_0$ heißt der Absolutkoeffizient von $f$. Ist $a_N = 1$, so bezeichnet man $f$ als normiertes Polynom.
Wir setzen $\deg 0 = -\infty $.
Ein kommutativer Ring $R$ heißt Integritätsbereich, wenn $R\ne \{ 0 \} $ und für alle $x, y\in R$ mit $xy=0$ gilt: $x=0$ oder $y=0$.
Sei $R$ ein kommutativer Ring, $f,g\in R[X]$.
$\deg (f+g) \le \max (\deg f, \deg g)$,
$\deg (fg) \le \deg f + \deg g$, und falls $R$ ein Integritätsbereich ist, so gilt sogar $=$.
Sei $R$ ein Integritätsring. Dann ist auch $R[X]$ ein Integritätsring. Es gilt $R[X]^\times = R^\times $.
Sei $\varphi \colon R \rightarrow R’$ ein Ringhomomorphismus. Dann heißen
das Bild, und
der Kern des Ringhomomorphismus $f$.
Es ist leicht zu sehen, dass in dieser Situation $\mathop{\rm Im}f$ wieder ein Ring ist. Weil in aller Regel $1\not\in \mathop{\rm Ker}f$ gilt, ist der Kern eines Ringhomomorphismus in der Regel kein Ring in unserem Sinne, allerdings stets ein sogenanntes Ideal:
Sei $R$ ein Ring. Eine Teilmenge $\mathfrak a\subseteq R$ heißt Ideal von $R$, falls $\mathfrak a$ eine Untergruppe von $(R, +)$ ist und falls für alle $a\in \mathfrak a$ und $x\in R$ gilt: $xa\in \mathfrak a$ und $ax \in \mathfrak a$.
Beispiel: Ist $d\in \mathbb Z$, so ist die Menge $(d) := \{ xd;\ x\in \mathbb Z \} $ aller Vielfachen von $d$ ein Ideal (und wir werden sehen, dass im Ring $\mathbb Z$ alle Ideale diese Form haben).
1.3 Teilbarkeit in Integritätsringen
11.4.
Bemerkung: Ist $R$ ein Integritätsring, so gilt für $a\ne 0$ die Kürzungsregel: $ab=ac\Rightarrow b=c$.Erinnerung: Division mit Rest in $\mathbb Z$.
Sei $K$ ein Körper, seien $f, g \in K[X]$, $g\ne 0$. Dann existieren eindeutig bestimmte Polynome $q, r\in K[X]$ mit $\deg r < \deg g$ und so dass
Ein Integritätsring $R$ heißt euklidischer Ring, falls eine Abbildung $\delta \colon R\setminus \{ 0\} \rightarrow \mathbb N$ (“Gradabbildung”) existiert, so dass für alle $a,b \in R$, $b\ne 0$, (nicht notwendig eindeutig bestimmte) Elemente $q, r\in R$ existieren, so dass $r = 0$ oder $\delta (r)<\delta (b)$ und $a = qb+r$.
Beispiele. $\mathbb Z$ mit $\delta (a) = |a|$; $K[X]$ ($K$ Körper) mit $\delta (f) = \deg (f)$.
Ein Ideal $\mathfrak a$ in einem Ring $R$ heißt Hauptideal, wenn ein Element $a\in R$ existiert, so dass $\mathfrak a = (a) := \{ xa ;\ x\in R\} $.
Ein Integritätsring $R$ heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal in $R$ ein Hauptideal ist.
Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. Insbesondere sind $\mathbb Z$ und $K[X]$ ($K$ Körper) Hauptidealringe.
Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung
Sei $R$ ein Integritätsring. Seien $a,b\in R$
Wir sagen, $a$ sei ein Teiler von $b$ (in Zeichen $a|b$), falls $c\in R$ existiert mit $ac=b$. Andernfalls schreiben wir $a\not|b$.
Wir nennen $a$, $b$ zueinander assoziiert, falls $c\in R^\times $ existiert mit $ac=b$.
$a|b \Leftrightarrow b \in (a) \Leftrightarrow (b) \subseteq (a)$,
$a$, $b$ assoziiert $\Leftrightarrow (a| b \text{ und } b|a) \Leftrightarrow (a) = (b)$.
Sei $R$ ein Integritätsring.
Ein Element $p\in R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )$ heißt irreduzibel, falls für alle $a,b\in R$ mit $p=ab$ gilt: $a\in R^\times $ oder $b\in R^\times $.
Ein Element $p\in R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )$ heißt prim (oder Primelement), falls für alle $a,b\in R$ mit $p|ab$ gilt: $p|a$ oder $p|b$.
13.4.
Sei $R$ ein Integritätsring. Ist $p\in R$ prim, so ist $p$ irreduzibel. Ist $R$ ein Hauptidealring, so gilt auch die Umkehrung.
Sei $R$ ein Hauptidealring. Dann lässt sich jedes Element aus $R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )$ als Produkt von Primelementen schreiben.
Sei $R$ ein Integritätsring, seien $p_1,\dots , p_r\in R$ prim und seien $q_1,\dots , q_s\in R$ irreduzibel. Gilt
so gilt $r=s$ und nach einer eventuellen Umnummerierung der $q_i$ gilt für alle $i=1, \dots , r$: Es gibt $\varepsilon _i\in R^\times $ mit $p_i = \varepsilon _i q_i$.
Ein Integritätsring $R$ heißt faktoriell, wenn sich jedes Element aus $R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )$ als Produkt von Primelementen schreiben lässt.
Man sagt in der Situation dieser Definition auch, in $R$ gelte die “eindeutige Zerlegung in Primfaktoren”.
Da $\mathbb Z$ ein Hauptidealring ist, ist $\mathbb Z$ faktoriell. Wegen $\mathbb Z^\times = \{ 1, -1\} $ gilt auch die folgende, etwas präzisere Aussage: Jede ganze Zahl $a\in \mathbb Z$, $a\ne 0$, lässt sich schreiben als $a=\varepsilon p_1\cdot \cdots \cdot p_r$ mit $\varepsilon \in \{ 1,-1\} $ und (positiven) Primzahlen $p_i$. Dabei ist $\varepsilon $ eindeutig bestimmt (nämlich gleich dem Vorzeichen von $a$), und die $p_i$ sind eindeutig bestimmt bis auf die Reihenfolge.
Sei $K$ ein Körper. Nach dem Gezeigten ist der Polynomring $R=K[X]$ faktoriell. Es gilt $R^\times = K^\times $ und wir erhalten: Jedes Polynom $f\in K[X]$, $f\ne 0$, lässt sich schreiben als Produkt $f = u f_1\cdot \cdots \cdot f_r$, wobei $u\in K^\times $, $f_i\in K[X]$ irreduzibel und normiert.
Dabei ist $u$ eindeutig bestimmt ($u$ ist der Leitkoeffizient von $f$), und die $f_i$ sind eindeutig bestimmt bis auf ihre Reihenfolge. (Da die $f_i$ irreduzibel sind, gilt $\deg f_i > 0$.)
Nullstellen von Polynomen
18.4.
Sei $K$ ein Körper.Sei $f\in K[X]$. Ein Element $\alpha \in K$ heißt Nullstelle von $f$, falls $f(\alpha ) = 0$.
Ein Element $\alpha \in K$ ist genau dann Nullstelle eines Polynoms $f\in K[X]\setminus \{ 0\} $, wenn $X-\alpha $ das Polynom $f$ teilt. Insbesondere sehen wir, dass ein Polynom vom Grad $n$ höchstens $n$ verschiedene Nullstellen haben kann.
Ist $\alpha $ eine Nullstelle des Polynoms $f$, und gilt $(X-\alpha )^m|f$, aber $(X-\alpha )^{m+1}|f$, so sagen wir, $\alpha $ sei eine Nullstelle der Vielfachheit $m$ und schreiben $\mathop{\rm mult}\nolimits _\alpha (f) := m$.
Wir sagen, ein Polynom $f\in K[X]\setminus \{ 0\} $ zerfalle vollständig in Linearfaktoren, wenn $f$ Produkt von linearen Polynomen (d.h. von Polynomen vom Grad $1$) ist.
Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom in $K[X]\setminus K$ eine Nullstelle besitzt. (Äquivalent: wenn jedes Polynom in $K[X]\setminus K$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt.)
Der Körper $\mathbb C$ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.
Dieses schwierige Theorem beweisen wir nicht im Rahmen der Vorlesung über lineare Algebra. Es wird üblicherweise in den Vorlesungen Algebra und Funktionentheorie bewiesen, kann aber auch mit Mitteln der Analysis I bewiesen werden.
Der chinesische Restsatz
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak a\subset R$ ein Ideal. Für Elemente $x,y\in R$ schreiben wir
In den meisten Fällen ist $\mathfrak a = (a)$ ein Hauptideal; dann schreiben wir auch $x \equiv y \mod a$, und dies ist gerade äquivalent zu $a | x-y$. Man sagt, $x$ sei kongruent zu $y$ modulo $\mathfrak a$. Kongruenz ist eine “Äquivalenzrelation” (siehe unten).
Sei $R$ ein Integritätsring, seien $a, b\in R$.
Ein Element $d\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler von $a$, $b$, in Zeichen: $d = \mathop{\rm ggT}(a,b)$, wenn $d| a$, $d|b$, und für jedes Element $d’$, das $a$ und $b$ teilt, $d’|d$.
Ein Element $d\in R$ heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von $a$, $b$, in Zeichen $d = \mathop{\rm kgV}(a,b)$, wenn $a|d$, $b|d$, und für jedes Element $d’$, das von $a$ und $b$ geteilt wird, $d|d’$.
Die Elemente $a, b$ heißen teilerfremd, falls $(a,b):= \{ xa+yb;\ x,y\in R\} = R$.
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches sind (nur) eindeutig bestimmt bis auf Multiplikation mit Einheiten aus $R$, die Notationen $\mathop{\rm ggT}(a,b)$, $\mathop{\rm kgV}(a,b)$ sind mit entsprechender Vorsicht zu gebrauchen!
Ist $R$ ein Hauptidealring, so ist $d$ genau dann ein größter gemeinsamer Teiler von $a$, $b$, falls $(d) = (a,b)$. Insbesondere sind in diesem Fall $a$ und $b$ genau dann teilerfremd, wenn $1$ größter gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist.
Exkurs. Die abc-Vermutung. Der Satz von Mason-Stothers.
Seien $R$ ein Integritätsring und $a_1, \dots , a_r\in R$ paarweise teilerfremde Elemente. Sei $a = a_1\cdot \cdots \cdot a_r$.
Seien $b_1, \dots , b_r\in R$. Dann existiert ein Element $b\in R$, so dass für alle $i=1,\dots , r$ gilt: $b \equiv b_i \mod a_i$. Ist $b’$ ein weiteres solches Element, so gilt $b \equiv b’ \mod a$.
1.4 Quotientenkörper
20.4.
Sei $M$ eine Menge. Eine Teilmenge $R\subseteq M\times M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn gilt
(reflexiv) Für alle $x\in M$ ist $(x,x)\in R$.
(symmetrisch) Für alle $x, y\in M$ ist $(x,y)\in R$ genau dann, wenn $(y,x)\in R$.
(transitiv) Für alle $x,y,z \in M$ mit $(x,y)\in R$, $(y,z)\in R$ gilt $(x,z)\in R$.
Üblicherweise schreibt man $x\sim y$ statt $(x,y)\in R$.
Sei $R$ eine Äquivalenzrelation auf $M$. Die Teilmengen von $M$ der Form $[m] := \{ m’\in M;\ m’\sim m \} $ für ein $m\in M$ heißen die Äquivalenzklassen von $R$.
Die Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit $M/\sim $.
Zwei Äquivalenzklassen in $M$ sind entweder disjunkt oder gleich.
Sei nun $A$ ein Integritätsring, und $M = A \times (A\setminus \{ 0\} )$. Betrachte die folgende Äquivalenzrelation $R$ auf $M$:
Sei $K:= M/\sim $. Wir schreiben $\frac ab$ für die Äquivalenzklasse eines Elementes $(a,b)\in M$. Es gilt dann also
Dann ist $K$ mit der Addition
und der Multiplikation
ein Körper, der sogenannte Quotientenkörper von $A$.
Die Abbildung $A\rightarrow K$, $a\mapsto \frac a1$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Man schreibt oft $a$ statt $\frac a1$ und fasst $R$ als Teilmenge von $K$ auf.
Der Quotientenkörper von $\mathbb Z$ ist der Körper $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen.
1.5 Determinanten über Ringen
Sei $R$ ein Ring. Wir bezeichnen mit $M_{n\times n}(R)$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen mit Einträgen in $R$. Mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen ist dies wieder ein Ring.
Sei nun speziell $R$ ein Integritätsring, $K$ sein Quotientenkörper. Wir betrachten $M_{n\times n}(R)$ als Teilmenge von $\subset M_{n\times n}(K)$. Die Leibniz-Formel zeigt, dass für alle $A\in M_{n\times n}(R)$ die Determinante $\det (A)$ (die wir definiert haben für Matrizen mit Einträgen in einem Körper; wir fassen also $A$ auf als Element von $M_{n\times n}(K)$) ein Element von $R$ ist. Es gelten, wie über jedem Körper, auch über $K$ die üblichen Rechenregeln, zum Beispiel:
Seien $A,B\in M_{n\times n}(R)$. Dann gilt $\det (AB) = \det (A)\det (B)$. (Da beide Seiten dieser Gleichung Elemente von $R$ sind, gilt diese Gleichheit auch in $R$.)
Die Cramersche Regel zeigt:
Sei $A\in M_{n\times n}(R)$. Es existiert genau dann eine Matrix $B\in M_{n\times n}(R)$ mit $AB=BA=E_n$ (also ein multiplikatives Inverses von $A$ in dem Ring $M_{n\times n}(R)$), wenn $\det (A)\in R^\times $.
Es ist nicht schwer zu zeigen (durch Reduktion auf den “universellen” Fall $R=\mathbb Z[X_{ij};\ i,j=1,\dots , n]$), dass beide Sätze auch über beliebigen kommutativen Ringen gelten.