8 Determinante
Vergleiche [ Bo-LA ] , Kapitel 4.
Ziel: Finde eine Invariante ($\in K$) für jede $n\times n$-Matrix $A$ über $K$, die ablesen lässt, ob $A$ invertierbar ist, und “weitere gute Eigenschaften” hat, z.B. multiplikativ, leicht berechenbar.
Beispiel: $2\times 2$-Fall. (Sehen auch: können “Lösungsformel für LGS” erhoffen.)
Geometrische Interpretation als Volumen des von den Spaltenvektoren in der Matrix erzeugten Parallelepipeds.
8.1 Permutationen
Definition Transposition.
Definition Signum $\mathop{\rm sgn}$ einer Permutation. Ist $\sigma \in S_n$ und $f$ die Anzahl der Fehlstände von $\sigma $, $f= \# \{ (i,j);\ i< j, \sigma (i)>\sigma (j)\} $, so gilt $\mathop{\rm sgn}(\sigma )= (-1)^f$. Transpositionen haben stets Signum $-1$.
Die Abbildung $\mathop{\rm sgn}\colon S_n \rightarrow \{ 1, -1 \} $ ist ein Gruppenhomomorphismus.
8.2 Determinantenfunktionen
Seien $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-VR, $n\ge 0$.
Vektorraumstruktur auf $V^n$ (durch komponentenweise Addition, Skalarmultiplikation). Identifiziere $(K^n)^n$ mit $M_{n\times n}(K)$ — indem wir eine Matrix in ihre Spalten aufspalten, können wir Matrizen und $n$-Tupel von Spaltenvektoren identifizieren.
Seien $V$, $n$ wie oben; $W$ ein $K$-Vektorraum.
Eine Abbildung $\delta \colon V^n\rightarrow W$ heißt multilinear, falls für alle $i\in \{ 1, \dots , n \} $ und alle $v_1,\dots , v_{i-1},v_{i+1},\dots , v_n\in V$ die Abbildung
\[ V\rightarrow W, \qquad v \mapsto \delta (v_1,\dots , v_{i-1},v,v_{i+1},\dots , v_n) \]eine lineare Abbildung ist.
Eine multilineare Abbildung $V^n\rightarrow W$ heißt alternierend, falls für alle $v_1, \dots , v_n\in V$, so dass $i\ne j$ existieren mit $v_i = v_j$, gilt:
\[ \delta (v_1,\dots , v_n)=0. \]
Die Menge aller alternierenden multilinearen Abbildungen $V^n\rightarrow W$ ist ein $K$-Vektorraum (mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation für Matrizen).
Charakterisierung alternierender Abbildungen.
Seien $K$ ein Körper und $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum. Sei $n = \dim V$. Eine Determinantenfunktion auf $V$ ist eine alternierende multilineare Abbildung $V^n\rightarrow K$.
Eine Determinantenfunktion $\Delta $ heißt nicht-trivial, wenn $\Delta $ nicht die Nullabbildung ist.
Wir bezeichnen den Vektorraum aller Determinantenfunktionen auf $V$ mit $\mathscr D_V$.
$\dim \mathscr D_V \le 1$.
Die Abbildung $\det \colon M_{n\times n}(K)\rightarrow K$, die gegeben ist durch
(Leibniz-Formel) ist eine nichttriviale Determinantenfunktion auf $K^n$ (vermöge der oben angegebenen Identifikation $(K^n)^n = M_{n\times n}(K)$. Insbesondere gilt $\dim \mathscr D_V =1$ für jeden endlich-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
Beispiele. $n=2$. $n=3$. Determinante einer oberen Dreiecksmatrix.
Sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-VR, und sei $\mathscr B$ eine Basis von $V$. Dann ist die Abbildung $\Delta _{\mathscr B}\colon V^n \rightarrow K$, $(v_1, \dots , v_n) \mapsto \det A$, wobei $A$ die Matrix mit den Spalten $c_{\mathscr B}(v_1), \dots , c_{\mathscr B}(v_n)$ ist, eine nichttriviale Determinantenfunktion auf $V$.
Ist $\mathscr C$ eine weitere Basis von $V$, so gilt
Eigenschaften der Determinante
Sei $A\in M_{n\times n}(K)$. Die Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn $\det (A)\ne 0$.
Seien $A,B\in M_{n\times n}(K)$. Dann gilt
Die Einschränkung von $\det $ auf die $GL_n(K)$ ist ein Gruppenhomomorphismus $GL\rightarrow \mathbb K^\times $. Sein Kern ist die Gruppe $SL_n(K)$.
Die Determinante $\det \colon M_{n\times n}(K)\rightarrow K$ ist multilinear und alternierend in den Zeilen der Matrix.
Sie verhält sich unter elementaren Zeilenumformungen ebenso wie unter elementaren Spaltenumformungen.
8.3 Die Determinante eines Endomorphismus
Seien $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum, $\Delta $ eine nicht-triviale Determinantenfunktion auf $V$ und $f\colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus von $V$. Dann ist $\Delta _f:V^n\rightarrow K$, $(v_1,\dots , v_n)\mapsto \Delta (f(v_1), \dots , f(v_n))$ eine Determinantenfunktion und das Element $\alpha \in K$ mit $\Delta _f=\alpha \Delta $ heißt die Determinante des Endomorphismus $f$, in Zeichen: $\det (f)$.
Ist $\mathscr B$ eine Basis von $V$, so gilt $\det (f) = \det (M^{\mathscr B}_{\mathscr B}(f))$. Insbesondere ist $\det (f)$ unabhängig von der Wahl von $\Delta $ in der Definition und von $\mathscr B$.
Die Eigenschaften der Determinante von Matrizen übertragen sich in naheliegender Weise auf die Determinante von Endomorphismen.
8.4 Die Cramersche Regel
Sei $A = (a_{ij})_{i,j}\in M_{n\times n}(K)$. Seien $i,j\in \{ 1,\dots , n\} $. Wir bezeichnen mit
$A_{ij}$ die Matrix in $M_{n\times n}$, die aus $A$ durch ersetzen der $i$-ten Zeile durch den “$j$-ten Standard-Zeilenvektor $e_j’ = (0,\dots , 0,1,0\dots , 0)$” ($1$ an der $j$-ten Stelle) und der $j$-ten Spalte durch den $i$-ten Standardbasisvektor $e_i$ entsteht.
$A_{ij}’$ die Matrix in $M_{(n-1)\times (n-1)}(K)$, die aus $A$ durch Streichen der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte hervorgeht.
Es gilt dann $\det A_{ij} = (-1)^{i+j} \det A_{ij}’$.
Mit den obigen Notationen gilt für alle $i$ die “Entwicklung von $\det A$ nach der $i$-ten Zeile”:
und für alle $j$ die “Entwicklung von $\det A$ nach der $j$-ten Spalte”:
Wir definieren die Komplementärmatrix $A^{\rm ad}$ zu $A$ durch
In der Literatur wird $A^{\rm ad}$ manchmal als die adjungierte Matrix bezeichnet; daher auch die Notation. Wir vermeiden diese Sprechweise aber, weil der Begriff der adjungierten Abbildung bzw. adjungierten Matrix in der Linearen Algebra 2 bei der Behandlung von Bilinearformen mit einer völlig anderen Bedeutung auftritt.
Es gilt
Ist $A$ invertierbar, so gilt
Sei $A\in GL_n(\mathbb Q)$. Wir nehmen an, dass alle Einträge von $A$ in $\mathbb Z$ liegen. Genau dann liegen auch alle Einträge von $A^{-1}$ in $\mathbb Z$, wenn $\det (A)\in \{ 1,-1\} $.
Lösungsformel für Lineare Gleichungssysteme.