2 Grundlagen
Referenz: [ Bo-LA ] 1.1.
2.1 Notation
$\Longrightarrow $, $\Longleftarrow $, $\Longleftrightarrow $. $\vee $, $\wedge $, $\neg $.
Quantoren, Reihenfolge von Quantoren.
Summennotation.
2.2 Mengen
Sprache der Mathematik: große Präzision, feststehende Ausdrücke, differiert teilweise von Umgangssprache, “Logik”.
Eine Menge ist gegeben durch ihre Elemente: Ist $M$ eine Menge, so heißt $x\in M$, dass $x$ Element der Menge ist, und $x\not\in M$, dass $x$ nicht Element von $M$ ist. Wir sagen hier bewusst nicht, was eine Menge ist; man kann die Mengenlehre axiomatisch aufbauen, das würde aber hier zu weit führen. Es ist aber für uns auch weniger wichtig, was eine Menge ist, entscheidend ist, dass eine Menge durch ihre Elemente gegeben ist in dem Sinne, dass zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben.
Leere Menge: $\emptyset $.
Natürliche Zahlen: 0,1,2,3,…; $\mathbb N$
Ganze Zahlen: $\mathbb Z$
Rationale Zahlen $\mathbb Q$
Reelle Zahlen $\mathbb R$
Mengen. $\in $. Notation für Mengen: $\{ 1,2,3\} $, $\{ 1,2,3, \dots \} $, $\{ x\in M;\ P(x) \} $, $P(x)$ eine Eigenschaft, die Elemente aus $M$ haben oder nicht haben. Beachte: $\{ 1,2 \} = \{ 1,2,2 \} $. $\mathbb Z_{\ge 0}$ etc.
Sei $X$ eine Menge. Eine Familie (oder: ein System) von Elementen aus $X$ (mit Indexmenge $I$) ist gegeben durch eine Menge $I$ und für jedes Element $i\in I$ ein Element $x_i\in X$. Formal kann man eine solche Familie als Abbildung $I\rightarrow X$, $i\mapsto x_i$, betrachten bzw. definieren.
2.3 Vollständige Induktion
Prinzip des kleinsten Elements: Jede nicht-leere Teilmenge von $\mathbb N$ besitzt ein kleinstes Element.
Prinzip der vollständigen Induktion:
(1) Eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb N$ mit den Eigenschaften (i) $0\in M$ und (ii) für alle $n$ mit $n\in M$ gilt $n+1\in M$, stimmt mit $\mathbb N$ überein.
(2) Sei $P(n)$ eine Eigenschaft, die die natürliche Zahl $n$ haben oder nicht haben kann (oder: sei $P(n)$ eine Aussage über alle natürlichen Zahlen $n$) mit den folgenden beiden Eigenschaften: (i) $P(0)$ ist wahr; (ii) für jedes $n$ mit $P(n)$ wahr ist auch $P(n+1)$ wahr. Dann ist $P(n)$ wahr für alle $n\in \mathbb N$.
Äquivalenz der beiden Prinzipien.
Summennotation.
2.4 Teilmengen, Konstruktionen von Mengen
Teilmenge, $\subseteq $, $\subset $, $\subsetneq $.
Konstruktionen: Differenz $\setminus $, Durchschnitt $\cap $, Vereinigung $\cup $ von Teilmengen einer Menge $M$, Komplement einer Teilmenge. Kartesisches Produkt von Mengen.
2.5 Abbildungen
Seien $X$, $Y$ Mengen. Eine Abbildung $f$ von $X$ nach $Y$, $f\colon X\rightarrow Y$, ist eine Zuordnung, die jedem Element $x\in X$ ein Element $f(x)\in Y$ zuordnet. Man schreibt $x \mapsto f(x)$.
Formal: Die Zuordnung ist gegeben als Teilmenge $F \subset X\times Y$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $x\in X$ genau ein $y \in Y$ existiert mit $(x,y)\in F$. Dieses Element $y$ wird dann als $f(x)$ bezeichnet.
Abbildungen zwischen zwei Mengen. Definitionsbereich/Quelle, Bildbereich/Ziel.
Identische Abbildung.
Bild, Urbild.
Verkettung
Injektive, surjektive, bijektive Abbildungen.
Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung.
Einschränkung einer Abbildung auf Teilmenge des Definitionsbereichs.