5 Lineare Abbildungen
5.1 Lineare Abbildungen
Lineare Abbildung/Vektorraumhomomorphismus
Sei $K$ ein Körper. Seien $V$, $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung $f\colon V\rightarrow W$ heißt lineare Abbildung oder (Vektorraum-)Homomorphismus zwischen $V$ und $W$, falls gilt:
Für alle $v,w\in V$: $f(v+w) = f(v)+f(w)$.
Für alle $a\in K$, $v\in V$: $f(av) = af(v)$.
Beispiel: $\mathop{\rm id}\nolimits _V$. Weitere Beispiele. Rechenregeln.
Isomorphismen (Existenz einer linearen Umkehrabbildung, äquivalent: bijektiv). Isomorphismen erhalten “VR-Eigenschaften”.
Sind $W$, $V$ zwei $K$-VR, $\dim W=n$, so bestimmt jede Basiswahl von $W$ einen Isomorphismus $\mathop{\rm Hom}\nolimits _K(W,V)\cong V^n$, d.h. eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt, und zu jeder “Wahl von Bildern” gibt es genau eine lineare Abbildung.
Koordinatenabbildung: $V$ Vektorraum mit Basis $\mathscr B = (v_1, \dots , v_n)$, $c_{\mathscr B}\colon V \rightarrow K^n$ die eind. best. lin. Abb. mit $v_i\mapsto e_i$.
5.2 Kern und Bild einer linearen Abbildung
$f\colon V\rightarrow W$ ein $K$-Vektorraumhomomorphismus.
$\mathop{\rm Ker}(f) = f^{-1}(\{ 0 \} )$.
$\mathop{\rm Ker}(f)$, $\mathop{\rm Im}(f)$ sind UVR.
Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn $\mathop{\rm Ker}(f)=\{ 0\} $.
Sei $f\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung zwischen $K$-VR und sei $V$ endlich-dimensional. Dann gilt:
Die Zahl $\dim \mathop{\rm Im}f$ heißt auch der Rang von $f$.
Seien $V$, $W$ endlich-dimensionale $K$-VR, $\dim V = \dim W$, und sei $f\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind äquivalent:
$f$ Isomorphismus,
$f$ injektiv,
$f$ surjektiv.