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6 Lineare Abbildungen und Matrizen

6.1 Zusammenhang lineare Abbildungen und Matrizen

Satz 6.1

Seien $m,n \ge 0$. Die Abbildung

\[ M_{m\times n}(K) \rightarrow \mathop{\rm Hom}\nolimits _K(K^n, K^m), \quad A \mapsto (f_A\colon x\mapsto Ax), \]

ist ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung

\[ f \mapsto M(f):= (a_{ij})_{i,j}, \]

wobei

\[ f(e_j) = \sum _{i=1}^m a_{ij} e_i. \]

Satz 6.2

Seien $V$, $W$ Vektorräume der Dimensionen $n=\dim V$, $m=\dim W$, und seien $\mathscr B=(v_1, \dots , v_n)$, $\mathscr C=(w_1, \dots , w_m)$ Basen von $V$ bzw. $W$. Dann sind die Abbildungen

\[ M_{m\times n}(K) \rightarrow \mathop{\rm Hom}\nolimits _K(V,W), \quad A\mapsto c_{\mathscr C}^{-1}\circ f_A \circ c_{\mathscr B} \]

und

\[ \mathop{\rm Hom}\nolimits _K(V,W) \rightarrow M_{m\times n}(K), \quad f\mapsto M^{\mathscr B}_{\mathscr C}(f) = M(c_{\mathscr C}\circ f \circ c_{\mathscr B}^{-1}) \]

zueinander inverse Vektorraumhomomorphismen.

Satz 6.3

Seien $f\colon V\rightarrow W$, $g\colon W\rightarrow U$ Homomorphismen endlich-dimensionaler VR $V$, $W$, $U$ mit Basen $\mathscr B$, $\mathscr C$, $\mathscr D$. Dann gilt

\[ M^{\mathscr C}_{\mathscr D}(f) M^{\mathscr B}_{\mathscr C}(g) = M^{\mathscr B}_{\mathscr D}(g\circ f). \]

Korollar 6.4 Basiswechsel

Sei $f\colon V\rightarrow W$ ein Homomorphismus endlich-dimensionaler $K$-VR, seien $\mathscr B$, $\mathscr B’$ Basen von $V$ und $\mathscr C$, $\mathscr C’$ Basen von $W$. Dann gilt

\[ M^{\mathscr B'}_{\mathscr C'}(f) = M^{\mathscr C}_{\mathscr C'}(\mathop{\rm id}\nolimits _W) M^{\mathscr B}_{\mathscr C}(f) M^{\mathscr B'}_{\mathscr B}(\mathop{\rm id}\nolimits _V). \]

Schreibweise: $M^{\mathscr B'}_{\mathscr B}:=M^{\mathscr B'}_{\mathscr B}(\mathop{\rm id}\nolimits _V)$, “Basiswechselmatrix”.

Beispiele: Drehungen in $\mathbb R^2$, $\mathbb R^3$.

6.2 Rang von Matrizen

Definition 6.5

Rang einer Matrix.

Zeilenrang = Spaltenrang (Folgerung aus Dimensionsformel)

Satz 6.6

Seien $V$, $W$ Vektorräume der Dimensionen $n=\dim V$, $m=\dim W$, und seien $\mathscr B=(v_1, \dots , v_n)$, $\mathscr C=(w_1, \dots , w_m)$ Basen von $V$ bzw. $W$. Sei $f\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und $A\in M_{m\times n}(K)$ die zugehörige Matrix.

  1. $f$ injektiv $\Longleftrightarrow $ $\mathop{\rm Ker}A = 0$ $\Longleftrightarrow $ $\mathop{\rm rg}\nolimits A = n$.

  2. $f$ surjektiv $\Longleftrightarrow $ $\mathop{\rm rg}\nolimits A = m$.

  3. Ist $m=n$, so sind die obigen Punkte äquivalent, und äquivalent zu:
    $f$ Isomorphismus $\Longleftrightarrow $ es existiert $B\in M_{n\times n}(K)$ mit $AB=BA=E_n$. (Wir nennen die Matrix $A$ dann invertierbar.) $\Longleftrightarrow $ die Spalten von $A$ bilden eine Basis von $K^n$.