6 Lineare Abbildungen und Matrizen
6.1 Zusammenhang lineare Abbildungen und Matrizen
Seien $m,n \ge 0$. Die Abbildung
ist ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung
wobei
Seien $V$, $W$ Vektorräume der Dimensionen $n=\dim V$, $m=\dim W$, und seien $\mathscr B=(v_1, \dots , v_n)$, $\mathscr C=(w_1, \dots , w_m)$ Basen von $V$ bzw. $W$. Dann sind die Abbildungen
und
zueinander inverse Vektorraumhomomorphismen.
Seien $f\colon V\rightarrow W$, $g\colon W\rightarrow U$ Homomorphismen endlich-dimensionaler VR $V$, $W$, $U$ mit Basen $\mathscr B$, $\mathscr C$, $\mathscr D$. Dann gilt
Sei $f\colon V\rightarrow W$ ein Homomorphismus endlich-dimensionaler $K$-VR, seien $\mathscr B$, $\mathscr B’$ Basen von $V$ und $\mathscr C$, $\mathscr C’$ Basen von $W$. Dann gilt
Schreibweise: $M^{\mathscr B'}_{\mathscr B}:=M^{\mathscr B'}_{\mathscr B}(\mathop{\rm id}\nolimits _V)$, “Basiswechselmatrix”.
Beispiele: Drehungen in $\mathbb R^2$, $\mathbb R^3$.
6.2 Rang von Matrizen
Rang einer Matrix.
Zeilenrang = Spaltenrang (Folgerung aus Dimensionsformel)
Seien $V$, $W$ Vektorräume der Dimensionen $n=\dim V$, $m=\dim W$, und seien $\mathscr B=(v_1, \dots , v_n)$, $\mathscr C=(w_1, \dots , w_m)$ Basen von $V$ bzw. $W$. Sei $f\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und $A\in M_{m\times n}(K)$ die zugehörige Matrix.
$f$ injektiv $\Longleftrightarrow $ $\mathop{\rm Ker}A = 0$ $\Longleftrightarrow $ $\mathop{\rm rg}\nolimits A = n$.
$f$ surjektiv $\Longleftrightarrow $ $\mathop{\rm rg}\nolimits A = m$.
Ist $m=n$, so sind die obigen Punkte äquivalent, und äquivalent zu:
$f$ Isomorphismus $\Longleftrightarrow $ es existiert $B\in M_{n\times n}(K)$ mit $AB=BA=E_n$. (Wir nennen die Matrix $A$ dann invertierbar.) $\Longleftrightarrow $ die Spalten von $A$ bilden eine Basis von $K^n$.