Lineare Algebra I, WS 2010/11.
Notizen zur Vorlesung.

Inhalt

3 Matrizen

3.1 Körper

Definition 3.1

Ein Körper ist ein Tripel $(K, +, \cdot )$ bestehend aus einer Menge $K$ und Verknüpfungen $+$, $\cdot $, so dass gilt:

  1. Die Verknüpfung $+$ ist assoziativ, kommutativ, hat ein eindeutig bestimmtes neutrales Element $0$ und es existieren eindeutig bestimmte inverse Elemente.

  2. Die Verknüpfung $\cdot $ ist assoziativ, kommutativ, hat ein eindeutig bestimmtes neutrales Element $1$, das von $0$ verschieden ist, und für alle $x\in (K\setminus \{ 0 \} $ existiert ein inverses Element.

  3. Distributivgesetz: $(a+b)c = ac+bc$

Beispiele: $\mathbb Q$, $\mathbb R$.

Notation: Üblicherweise sagt man, $K$ sei ein Körper und erwähnt $+$, $\cdot $ nicht. Inverse: $-x$, $x^{-1}$; $x-y := x+ (-y)$, $\frac xy := xy^{-1}$. $K^\times = K\setminus \{ 0\} $, “multiplikative Gruppe”. Elemente von $K$ werden oft als Skalare bezeichnet.

Rechenregeln. Kürzungsregeln.

Beispiele: $\mathbb F_2$.

3.2 Lineare Gleichungssysteme

$K$ Körper

Definition 3.2

Sei $K$ ein Körper, seien $m, n\ge 1$ natürliche Zahlen. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) von $m$ Gleichungen in $n$ Unbestimmten $X_1, \dots , X_n$ über $K$ ist gegeben durch Gleichungen

\begin{align*} a_{11} X_1 + a_{12} X_2 \cdots + a_{1n} X_n & = b_1\\ a_{21} X_1 + a_{22} X_2 \cdots + a_{2n} X_n & = b_2\\ \vdots & \vdots \\ a_{m1} X_1 + a_{m2} X_2 \cdots + a_{mn} X_n & = b_m \end{align*}

mit $a_{i,j}\in K$ für alle $i=1,\dots , m$, $j = 1,\dots , n$, $b_i\in K$, $i=1, \dots , m$.

Ein LGS heißt homogenes LGS, falls $b_i = 0$ für alle $i=1, \dots , m$.

Wir schreiben kurz, dass das obige LGS gegeben sei durch $(a_{ij}, b_i)$.

Ein LGS, bei dem nicht vorausgesetzt wird, dass es homogen ist, wird auch als inhomogenes LGS bezeichnet. Sei ein LGS $M$ gegeben durch $(a_{ij}, b_i)$. Das LGS $M_0$, das gegeben ist durch ($a_{ij}$, $0$), d.h. die Koeffizienten $a_{ij}$ werden beibehalten, aber alle $b_i$ werden durch $0$ ersetzt, heißt das zu $M$ gehörige homogene LGS.

Definition 3.3

Sei ein LGS der obigen Form über dem Körper $K$ gegeben. Die Lösungsmenge $\mathbb L$ des LGS ist die Menge aller $n$-Tupel $(x_1, \dots , x_n) \in K^n$, so dass für alle $i=1, \dots , m$ gilt:

\[ a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 \cdots + a_{1n} x_i = b_i. \]

Beispiel.

Addition, Skalarmultiplikation.

Definition 3.4 Matrix

$M_{m\times n}(K)$. Achtung: erlaube $m, n = 0$.

Koeffizienten eines LGS als Matrix. Koeffizientenmatrix, erweiterte Koeffizientenmatrix.

3.3 Der Gauß-Algorithmus

Ziel: Bringe LGS durch Äquivalenzumformungen auf ein LGS möglichst einfacher Gestalt mit derselben Lösungsmenge.

Elementare Zeilenumformungen vom Typ

(I) Addition eines Vielfachen (mit $a\in K$) einer Gleichung zu einer anderen Gleichung.

(II) Vertauschung zweier Gleichungen.

(III) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar $\in K^\times $.

Analog: Elementare Zeilenumformungen vom Typ (I), (II), (III) von Matrizen. (Entsprechend kann man auch von elementaren Spaltenumformungen von Matrizen sprechen.)

Zwei LGS, die durch elementare Zeilenumformungen auseinander hervorgehen, haben dieselbe Lösungsmenge.

Theorem 3.5

Seien $K$ ein Körper und $m,n\ge 1$ natürliche Zahlen. Jede Matrix $A\in M_{m\times n}(K)$ kann durch wiederholte Anwendung elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix in Zeilenstufenform überführt werden.

Beweis
Induktion nach Anzahl der Zeilen.

Struktur der Lösungsmenge eines homogenen LGS, eines inhomogenen LGS.

Teilräume von $K^n$, Basis eines Teilraums.

Basis für die Lösungsmenge eines homogenen LGS in Zeilenstufenform.

3.4 Matrizen

Definition 3.6

Matrix. $M_{m\times n}(K)$ Raum der $(m\times n)$-Matrizen über $K$.

Definition 3.7

Summe von Matrizen. (assoziativ, kommutativ, neutrales Element: Nullmatrix, inverse Elemente). Skalarmultiplikation (assoziativ, distributiv mit $+$).

Definition 3.8

Produkt von Matrizen.

Eigenschaften des Produkts: Assoz., distributiv, nicht komm., i.a. keine Inversen.

Matrizen und LGS: Schreibe Elemente von $K^n$ als Spaltenvektoren. Schreibe Lösungsmenge eines LGS als $\{ x\in K^n;\ A x=b \} $.

3.5 Bild und Kern einer Matrix

Matrix $A\in M_{m\times n}(K)$ als Abbildung $f_A\colon K^n\rightarrow K^m$, $x\mapsto Ax$.

Definition 3.9

Sei $A\in M_{m\times n}(K)$. Das Bild von $A$, in Zeichen $\mathop{\rm Im}A$, ist das Bild der Abbildung $f_A\colon K^n\rightarrow K^m$, d.h.

\[ \mathop{\rm Im}A = \{ y\in K^m;\ \text{ es existiert } x\in K^n, \text{ so dass } Ax=y \} . \]

Definition 3.10

Sei $A\in M_{m\times n}(K)$. Der Kern von $A$, in Zeichen $\mathop{\rm Ker}A$, ist das Urbild des Elements $0\in K^m$ unter der Abbildung $f_A$, d.h.

\[ \mathop{\rm Ker}A = \{ x \in K^n;\ Ax = 0 \} \]

Zusammenhang zu LGS.

Kern, Bild sind Teilräume von $K^n$, $K^m$.

Verknüpfung von Abbildungen der Form $f_A$: $f_A \circ f_B = f_{AB}$.