Sei \(K\) ein Körper und sei \((f_i)_{i\in I}\) eine Familie von Polynomen in \(K[X]\).

1. Es existiert ein Zerfällungskörper der gegebenen Familie von Polynomen.

2. Sind \(L\) und \(L'\) Zerfällungskörper der Familie \((f_i)_i\), so existiert ein \(K\)-Isomorphismus \(L\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}L'\).

Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine algebraische Körpererweiterung.

1. Dann existiert ein Erweiterungskörper \(L'\) von \(L\), so dass die Erweiterung \(\left.L'\middle /K\right.\) normal ist, und so dass kein echter Teilkörper von \(L'\), der \(K\) enthält, normal über \(K\) ist. Der Körper \(L'\) ist bis auf \(K\)-Isomorphismus eindeutig bestimmt.

2. Ist die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) endlich, so ist auch \(\left.L'\middle /K\right.\) endlich.

3. Ist \(\left.M\middle /K\right.\) eine normale Erweiterung, so dass \(L\) in \(M\) enthalten ist, so ist der von allen \(\sigma (L)\), \(\sigma \in \operatorname{Hom}_K(L, M)\), über \(K\) erzeugte Teilkörper von \(M\) der eindeutig bestimmte Zwischenkörper von \(\left.M\middle /K\right.\), der die Eigenschaft in Teil (1) hat.

Wir nennen \(L'\) eine normale Hülle der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) (bzw. in der Situation von Teil (3) die normale Hülle von \(\left.L\middle /K\right.\) in \(M\).

Sei \(K\) ein Körper und \(f\in K[X]\) ein irreduzibles Polynom. Dann sind äquivalent:

1. \(f\) ist separabel,

2. \(f' \ne 0\).

Sei \(K\) ein Körper der Charakteristik \(p {\gt} 0\) und sei \(f\in K[X]\) irreduzibel. Sei \(r\in \mathbb N\) maximal mit der Eigenschaft, dass \(f\) die Form \(g(X^{p^r})\) für ein Polynom \(g\in K[X]\) hat. Dann ist \(g\) durch \(f\) eindeutig bestimmt, separabel und irreduzibel.

Jede Nullstelle von \(f\) hat die Vielfachheit \(p^r\), und die Nullstellen von \(f\) (in einem algebraischen Abschluss \(\overline{K}\) von \(K\)) sind gerade die \(p^r\)-ten Wurzeln der Nullstellen von \(g\).

Sei \(K\) ein Körper der Charakteristik \(p {\gt} 0\). Dann sind äquivalent:

1. Der Körper \(K\) ist perfekt.

2. Jede endliche Erweiterung von \(K\) ist separabel.

3. Der Frobenius-Homomorphismus \(K\to K\), \(x\mapsto x^p\), ist surjektiv (und folglich ein Isomorphismus).

Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung. Es sind äquivalent:

1. Die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) ist separabel.

2. Es gilt \([L:K]_s = [L:K]\).

3. Es gibt separable Elemente \(\alpha _1, \dots , \alpha _r\in L\) mit \(L=K(\alpha _1,\dots , \alpha _r)\).

Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche separable Körpererweiterung. Dann existiert \(\alpha \in L\) mit \(L=K(\alpha )\). Wir nennen \(\alpha \) ein primitives Element der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\).

Sei \(K\) ein endlicher Körper. Dann hat \(K\) positive Charakteristik \(p\) und die Anzahl der Elemente von \(K\) ist eine Potenz von \(p\).

Sei \(p\) eine Primzahl. Zu jedem \(r\in \mathbb N_{{\gt} 0}\) gibt es einen Körper mit \(q:=p^r\) Elementen. Dieser Körper ist ein Zerfällungskörper des Polynoms \(X^q-X\).

Sind \(K\), \(K'\) endliche Körper mit \(\# K = \# K'\), dann existiert ein Körperisomorphismus \(K\cong K'\).

Sei \(\overline{\mathbb F}_p\) ein algebraischer Abschluss des Körpers \(\mathbb F_p\). Für jedes \(r\in \mathbb N\) enthält \(\overline{\mathbb F}_p\) genau einen Teilkörper \(\mathbb F_{p^r}\) mit \(p^r\) Elementen und es gilt

Für \(r,s\in \mathbb N\) gilt genau dann \(\mathbb F_{p^r}\subseteq \mathbb F_{p^s}\), wenn \(r\, |\, s\) gilt.

Jede Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) endlicher Körper ist normal und separabel.

Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent.

1. Es gilt

   \[ K = L^{\operatorname{Aut}_K(L)}. \]

2. Es gibt eine Untergruppe \(G\subseteq \operatorname{Aut}(L)\), so dass

   \[ K = L^{G} \]

   gilt.

3. Die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) ist normal und separabel.

Sind die Bedingungen erfüllt, so heißt die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) galoissch oder eine Galois-Erweiterung. Wir nennen dann \(\operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.):= \operatorname{Aut}_K(L)\) die Galois-Gruppe der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\).

Es gilt dann \([L:K] = \# \operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\).

Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine Galois-Erweiterung mit Zwischenkörpern \(E\) und \(E'\). Sei \(H = \operatorname{Gal}(\left.L\middle /E\right.)\) und \(H' = \operatorname{Gal}(\left.L\middle /E'\right.)\).

1. Es gilt \(EE' = L^{H\cap H'}\).

2. Es gilt \(E\cap E' = L^{\tilde{H}}\), wobei \(\tilde{H}\) die von \(H\) und \(H'\) in \(\operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\) erzeugte Untergruppe bezeichne.

3. Seien nun die Erweiterungen \(\left.E\middle /K\right.\) und \(\left.E'\middle /K\right.\) galoissch. Dann ist \(\left.EE'\middle /K\right.\) eine Galois-Erweiterung und der Homomorphismus

   \[ \operatorname{Gal}(\left.EE'\middle /E\right.) \to \operatorname{Gal}(\left.E'\middle /E\cap E'\right.),\quad \sigma \mapsto \sigma _{|E'}, \]

   ist bijektiv. Insbesondere ist \([EE' : E]\) ein Teiler von \([E': K]\).

Sei \(K\) ein Körper, \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss und \(f\in K[X]\) ein separables Polynom vom Grad \(n\in \mathbb N\) mit Zerfällungskörper \(L\). Sei \(G = \operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\) die Galois-Gruppe der Gleichung \(f(x)=0\). Seien \(\alpha _1,\dots , \alpha _n\in L\) die (nach Voraussetzung paarweise verschiedenen) Nullstellen von \(f\) in \(\overline{K}\).

Jedes Element von \(G\) induziert dann eine Permutation der \(\alpha _i\), und wir erhalten so einen injektiven Gruppenhomomorphismus \(G\to S_n\). Insbesondere gilt \(\# G\, |\, n!\).

Das Polynom ist genau dann irreduzibel in \(K[X]\), wenn \(G\) transitiv auf der Menge \(\{ \alpha _1, \dots , \alpha _n\} \) operiert.