14.1 Die Jordansche Normalform

Seien \(K\) ein Körper, \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum und sei \(f\colon V\to V\) ein Endomorphismus. Wir haben in der Linearen Algebra 1 definiert, wann \(f\) diagonalisierbar heißt, und auch gesehen, dass nicht jeder Endomorphismus diagonalisierbar ist.

Es ist möglich und wichtig, noch bessere Kriterien dafür zu entwickeln, wann ein Endomorphismus diagonalisierbar ist, und für Endomorphismen, die diese Eigenschaft nicht haben, ebenfalls »möglichst einfache« darstellende Matrizen bezüglich geeigneter Basen zu suchen.

Für solche Endomorphismen, die überhaupt eine darstellende Matrix in oberer Dreiecksgestalt besitzen, werden wir im Satz über die Jordansche Normalform zeigen, dass sich eine darstellende Matrix finden lässt, die höchstens auf der Diagonale und auf der direkt über der Diagonale liegenden Nebendiagonale Einträge hat.

Um das zu beweisen, werden wir die ersten Wochen der Vorlesung darauf verwenden, die Theorie des »Polynomrings« über einem Körper zu entwickeln und zeigen, dass es in diesen Ringen ganz ähnlich wie im Ring der ganzen Zahlen eine »Primfaktorzerlegung« gibt. Auch wenn es erst später ab der vierten Vorlesungswoche wirklich sichtbar werden wird, wie die Verbindung zur Linearen Algebra hergestellt wird, stellt sich diese Theorie als essenziell für das weitere heraus.