Ist $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal, das nicht endlich erzeugt ist, dann können wir eine Folge $a_i\in \mathfrak a$ von Elementen finden, $i\in \mathbb N$, so dass $(a_1,\dots , a_n)\subsetneq (a_1,\dots , a_{n+1})$ für alle $n$ gilt. Das liefert eine Kette von Idealen in $R$, die nicht stationär wird. Das zeigt die Implikation (i) $\Rightarrow$ (ii).

Ist andererseits jedes Ideal von $R$ endlich erzeugt und $\mathscr M$ eine nichtleere Menge von Idealen in $R$, dann folgt aus dem Lemma von Zorn (siehe Abschnitt LA1.B.1 oder Axiom ALG.3.24), dass $\mathscr M$ ein maximales Element besitzt. Wir müssen dazu zeigen, dass jede (bezüglich Inklusion) total geordnete Menge $(\mathfrak a_i)_i$ von Idealen in $R$ eine obere Schranke in $\mathscr M$ besitzt. Da die Menge total geordnet ist, ist die Vereinigung $\mathfrak a$ aller $\mathfrak a_i$ ein Ideal von $R$. Weil dieses nach Voraussetzung endlich erzeugt ist, folgt, dass $\mathfrak a$ mit einem der $\mathfrak a_i$ übereinstimmt (für $i$ so groß, dass $\mathfrak a_i$ alle Elemente irgendeines fixierten endlichen Erzeugendensystems enthält). Also liegt $\mathfrak a$ in $\mathscr M$. Das zeigt (ii) $\Rightarrow$ (iii) und die Implikation (iii) $\Rightarrow$ (i) ist klar (setze $\mathscr M := \{ \mathfrak a_i;\ i\ge 0\}$).

Sei $\mathfrak a\subseteq S^{-1}R$ ein Ideal. Wir zeigen, dass dieses endlich erzeugt ist. Bezeichne dazu $\tau \colon R\to S^{-1}R$ die natürliche Abbildung von $R$ in die Lokalisierung und sei $\mathfrak b = \tau ^{-1}(\mathfrak a)$. Dann ist $\mathfrak b$ endlich erzeugt, etwa $\mathfrak b = (b_1,\dots , b_n)$. Es ist dann leicht zu sehen, dass $\mathfrak a = \left(\frac{b_1}{1}, \dots , \frac{b_n}{1}\right)$ gilt. Jedenfalls ist die Inklusion $\supseteq$ klar. Ist andererseits $\frac as \in \mathfrak a$, $s\in S$, dann ist $a\in \mathfrak b$, und daraus folgt, dass $\frac as\in \left(\frac{b_1}{1}, \dots , \frac{b_n}{1}\right)$ gilt.

Dies beweist man wie in Definition 5.1.

Zu (1). Es ist leicht zu zeigen, dass $M'$ und $M''$ noethersch sind, wenn das für $M$ gilt. Seien nun $M'$ und $M''$ noethersch und sei $N\subseteq M$ ein Untermodul. Seien $f\colon M'\to M$ und $g\colon M\to M''$ die Homomorphismen aus der gegebenen kurzen exakten Sequenz. Aus der Voraussetzung folgt, dass $g(N)$ und $f^{-1}(N)$ endlich erzeugt sind, etwa $g(N) = \langle c_1,\dots , c_s\rangle$, $f^{-1}(N) = \langle a_1,\dots , a_r\rangle$. Wir wählen für $i=1,\dots , s$ jeweils ein Urbild $b_i$ von $c_i$ unter $g$. Man prüft dann leicht nach, dass $f(a_1),\dots , f(a_r), b_1,\dots , b_s$ ein Erzeugendensystem von $N$ bilden.

Zu (2). Aus Teil (1) folgt zunächst mit Induktion, dass jeder endlich erzeugte freie $R$-Modul, also jeder Modul der Form $R^n$, noethersch ist, denn wir haben offensichtliche kurze exakte Sequenzen $0\to R^{n-1}\to R^n\to R\to 0$. Ist $M$ irgendein endlich erzeugter $R$-Modul, dann existieren $n\ge 0$ und eine Surjektion $R^n\to M$, und erneute Anwendung von Teil (1) liefert, dass $M$ noethersch ist.