6.2 Irreduzible Komponenten und minimale Primideale
Sei X ein topologischer Raum.
Jede irreduzible Teilmenge von X ist in einer irreduziblen Komponente von X enthalten. Insbesondere ist X gleich der Vereinigung aller seiner irreduziblen Komponenten.
Sei Z⊆X eine Teilmenge und sei ¯Z ihr Abschluss in X. Es gilt: Z ist genau dann irreduzibel, wenn ¯Z irreduzibel ist.
Jede irreduzible Komponente von X ist eine abgeschlossene Teilmenge von X.
Insbesondere sehen wir: Ist R ein Ring, so steht die Menge der irreduziblen Komponenten von SpecR in Bijektion zur Menge der minimalen Primideale von R.
Ist R ein noetherscher Ring, so ist der topologische Raum SpecR noethersch. (Die Umkehrung gilt aber nicht.)
Sei X ein noetherscher topologischer Raum. Dann hat X nur endlich viele irreduzible Komponenten.
Sei R ein noetherscher Ring. Dann hat R nur endlich viele minimale Primideale.