6.2 Irreduzible Komponenten und minimale Primideale
Sei \(X\) ein topologischer Raum.
Jede irreduzible Teilmenge von \(X\) ist in einer irreduziblen Komponente von \(X\) enthalten. Insbesondere ist \(X\) gleich der Vereinigung aller seiner irreduziblen Komponenten.
Sei \(Z\subseteq X\) eine Teilmenge und sei \(\overline{Z}\) ihr Abschluss in \(X\). Es gilt: \(Z\) ist genau dann irreduzibel, wenn \(\overline{Z}\) irreduzibel ist.
Jede irreduzible Komponente von \(X\) ist eine abgeschlossene Teilmenge von \(X\).
Insbesondere sehen wir: Ist \(R\) ein Ring, so steht die Menge der irreduziblen Komponenten von \(\operatorname{Spec}R\) in Bijektion zur Menge der minimalen Primideale von \(R\).
Ist \(R\) ein noetherscher Ring, so ist der topologische Raum \(\operatorname{Spec}R\) noethersch. (Die Umkehrung gilt aber nicht.)
Sei \(X\) ein noetherscher topologischer Raum. Dann hat \(X\) nur endlich viele irreduzible Komponenten.
Sei \(R\) ein noetherscher Ring. Dann hat \(R\) nur endlich viele minimale Primideale.