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Inhalt

6.2 Irreduzible Komponenten und minimale Primideale

Definition 6.7

Sei X ein topologischer Raum. Die maximalen irreduziblen Teilmengen von X heißen irreduzible Komponenten.

Lemma 6.8

Sei X ein topologischer Raum.

  1. Jede irreduzible Teilmenge von X ist in einer irreduziblen Komponente von X enthalten. Insbesondere ist X gleich der Vereinigung aller seiner irreduziblen Komponenten.

  2. Sei ZX eine Teilmenge und sei ¯Z ihr Abschluss in X. Es gilt: Z ist genau dann irreduzibel, wenn ¯Z irreduzibel ist.

  3. Jede irreduzible Komponente von X ist eine abgeschlossene Teilmenge von X.

Insbesondere sehen wir: Ist R ein Ring, so steht die Menge der irreduziblen Komponenten von SpecR in Bijektion zur Menge der minimalen Primideale von R.

Definition 6.9

Ein topologischer Raum X heißt noethersch, wenn jede absteigende Kette abgeschlossener Teilmengen von X stationär ist.

Bemerkung 6.10

Ist R ein noetherscher Ring, so ist der topologische Raum SpecR noethersch. (Die Umkehrung gilt aber nicht.)

Satz 6.11

Sei X ein noetherscher topologischer Raum. Dann hat X nur endlich viele irreduzible Komponenten.

Satz 6.12

Sei R ein noetherscher Ring. Dann hat R nur endlich viele minimale Primideale.