5.2 Der Hilbertsche Basissatz
Sei \(\mathfrak a\subseteq R[X]\) ein Ideal. Wir wollen zeigen, dass \(\mathfrak a\) endlich erzeugt ist. Sei \(\mathfrak b\subseteq R\) die Menge aller Elemente von \(R\), die als Leitkoeffizient eines Polynoms in \(\mathfrak a\) auftreten. Es ist leicht zu sehen, dass es sich bei \(\mathfrak b\) um ein Ideal handelt. Nach Voraussetzung ist dieses endlich erzeugt, etwa durch Elemente \(b_1,\dots , b_r\), von denen wir annehmen können, dass sie von \(0\) verschieden sind. Sei \(N\) so groß gewählt, dass zu jedem \(i\) ein Polynom \(f_i\) in \(\mathfrak a\) vom Grad \(\le N\) mit Leitkoeffizient \(b_i\) existiert. Indem wir gegebenenfalls mit einer Potenz von \(X\) multiplizieren, können wir annehmen, dass alle \(f_i\) Grad \(N\) haben.
Der Untermodul \(M:=\langle 1,\dots , X^{N-1}\rangle _R\) von \(R[X]\) ist endlich erzeugt und folglich (Satz 5.5) noethersch. Sei \(g_1,\dots , g_s\) ein Erzeugendensystem von \(M\cap \mathfrak a\) als \(R\)-Modul.
Behauptung. Die Elemente \(f_1,\dots , f_r, g_1,\dots , g_s\) sind ein Erzeugendensystem des Ideals \(\mathfrak a\).
Begründung. Sei \(f\in \mathfrak a\). Wir wollen zeigen, dass \(f\in (f_1,\dots , f_r, g_1,\dots , g_s)\) gilt. Wenn \(f\) Grad \(\ge N\) hat, können wir den Grad verringern, indem wir ein geeignetes Polynom aus \((f_1,\dots , f_r)\) abziehen (denn der Leitkoeffizient von \(f\) liegt in \(\mathfrak b\)). Dann liegt \(f\) selbst genau dann in \((f_1,\dots , f_r, g_1,\dots , g_s)\), wenn dies für das neue Polynom gilt. Wir können daher annehmen, dass \(\deg (f) {\lt} N\) gilt. Das bedeutet aber, dass \(f\in M\cap \mathfrak a = (g_1,\dots , g_s)\) ist. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Per Induktion folgt aus dem Satz auch, dass jeder Polynomring in endlich vielen Unbestimmten über einem noetherschen Ring selbst noethersch ist.
Sei \(R\) ein noetherscher Ring und \(A\) eine endlich erzeugte \(R\)-Algebra. Dann ist auch der Ring \(A\) noethersch.
Nach Voraussetzung existiert eine Surjektion \(\pi \colon R[X_1,\dots , X_n]\to A\) für ein geeignet gewähltes \(n\). Wir können dann \(A\) als Modul über dem noetherschen Ring \(R[X_1,\dots , X_n]\) auffassen. Dieser ist offensichtlich endlich erzeugt, also noethersch. Eine Teilmenge von \(A\) ist genau dann ein Ideal, wenn es sich um einen \(R[X_1,\dots , X_n]\)-Untermodul handelt. Es folgt also, dass die Ideale in \(A\) die Kettenbedingung für noethersche Ringe erfüllen.