1 Ringe und Moduln
1.1 Ringe und Ideale
Eine Menge $R$ zusammen mit Verknüpfungen $+ \colon R\times R \to R$ (Addition) und $\cdot \colon R\times R\to R$ (Multiplikation) heißt kommutativer Ring mit $1$, falls gilt:
$(R, +)$ ist eine abelsche Gruppe. (Wir bezeichnen das neutrale Element bezüglich $+$ stets mit $0$.)
Die Multiplikation $\cdot $ ist assoziativ, besitzt ein neutrales Element (das wir stets mit $1$ bezeichnen), verhält sich distributiv bezüglich $+$ und ist kommutativ.
Sofern nicht ausdrücklich etwas Anderes gesagt wird, verstehen wir in diesem gesamten Skript unter einem Ring stets einen kommutativen Ring mit $1$.
Wir verwenden die üblichen Bezeichnungen: Der Multiplikationspunkt wird üblicherweise ausgelassen. Das Inverse von $a\in R$ bezüglich der Addition wird mit $-a$ bezeichnet, wir schreiben $a-b$ statt $a+(-b)$.
Die Menge $R = \{ 0 \} $ mit $0+0 = 0$, $0\cdot 0 = 0$, ist ein Ring, der sogenannte Nullring. Dies ist der einzige Ring, in dem $1 = 0$ gilt. Wir schreiben einfach $R=0$.
Sei $R$ ein Ring.
Ein Element $a\in R$ heißt Einheit, falls ein Element $b\in R$ existiert mit $ab=1$. Die Menge $R^\times $ aller Einheiten in $R$ bildet eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, die sogenannte Einheitengruppe.
Ein Element $a\in R$ heißt Nullteiler, falls ein Element $b\in R$, $b\ne 0$, existiert mit $ab=0$. Ist $R\ne 0$ und hat $R$ keine Nullteiler außer $0$, so heißt $R$ Integritätsring.
Ein Element $a\in R$ heißt nilpotent, wenn $n\ge 1$ existiert mit $a^n=0$. Sind $u\in R^\times $ und $a\in R$ nilpotent, so ist $u+a\in R^\times $ (“geometrische Reihe”).
Seien $R$, $S$ Ringe. Eine Abbildung $f\colon R\to S$ heißt Ringhomomorphismus, wenn gilt:
$f(x+y) = f(x) + f(y)$ für alle $x, y\in R$,
$f(xy) = f(x) f(y)$ für alle $x, y\in R$,
$f(1) = 1$.
Die Menge aller Ringhomomorphismen von $R$ nach $S$ bezeichnen wir mit $\mathop{\rm Hom}\nolimits (R, S)$.
Eine Teilmenge $S\subseteq R$ eines Ringes $R$ heißt Unterring, falls $0, 1\in S$ und $S$ abgeschlossen bezüglich $+$, $-$ und $\cdot $ ist.
Sei $R$ ein Ring. Eine Teilmenge $I\subseteq R$ heißt Ideal, wenn $I$ eine Untergruppe bezüglich der Addition ist, und wenn für alle $x\in R$, $y\in I$ gilt, dass $xy\in I$.
In jedem Ring $R$ sind $\{ 0 \} $ (das Nullideal) und $R$ (das Einsideal) Ideale.
Der Durchschnitt von Idealen ist ein Ideal.
Sind $R$ ein Ring und ist $X\subseteq R$ eine Teilmenge, so ist
\[ (X) := \bigcap _{I \subseteq R\ \text{Ideal}, X\subseteq I} I = \left\{ \sum _{i=1}^n a_i x_i;\ n\ge 0, a_i \in R, x_i\in X \right\} \]das kleinste Ideal von $R$, das $X$ enthält. Wir nennen $(X)$ das von $X$ erzeugte Ideal. Ist $X = \{ x_1, \dots , x_n \} $, so schreiben wir $(x_1, \dots , x_n) := (X)$. Beispiel: $(0) = \{ 0 \} $, $(1) = R$. Ein Ideal $I$ heißt endlich erzeugt, wenn endlich viele Elemente $x_1, \dots , x_n\in I$ existieren mit $I=(x_1, \dots , x_n)$. Ein Ideal $I$ heißt Hauptideal, wenn ein Element $x\in I$ existiert mit $I=(x)$. Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.
Sei $R$ ein Ring. Sind $I_\nu \subseteq R$ Ideale, so heißt das von $\bigcup _\nu I_\nu $ erzeugte Ideal die Summe der Ideale $I_\nu $, in Zeichen $\sum _\nu I_\nu $. Es gilt
\[ \sum _\nu I_\nu = \left\{ \sum _\nu x_\nu ; \ x_\nu \in I_\nu , \text{nur endlich viele} x_\nu \ \text{ungleich} 0\right\} . \]
Seien $R$ ein Ring und $\mathfrak a$, $\mathfrak b$ Ideale von $R$. Dann heißt
das Produkt der Ideale $\mathfrak a$ und $\mathfrak b$.
Sei $f\colon R\to R’$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern $\mathop{\rm Ker}f := f^{-1}(0)$ von $f$ ein Ideal von $R$ und das Bild $\mathop{\rm Im}f = f(R)$ von $f$ ein Unterring von $R’$.
Eine $R$-Algebra ist ein (Ring $A$ zusammen mit einem) Ringhomomorphismus $R\to A$ (dieser Homomorphismus heißt auch der Strukturmorphismus. Ein Homomorphismus zwischen $R$-Algebren $\varphi \colon R\to A$, $\psi \colon R\to B$ ist ein Ringhomomorphismus $f\colon A\to B$, so dass $f\circ \varphi =\psi $. Die Menge aller $R$-Algebren-Homomorphismen von $A$ nach $B$ bezeichnen wir mit $\mathop{\rm Hom}\nolimits _R(A, B)$.
Quotient nach einem Ideal
—
Definition des Quotientenbegriffs durch die universelle Eigenschaft.
Seien $R$ ein Ring und $I$ ein Ideal. Eine $R$-Algebra $\pi \colon R\to \overline{R}$ heißt Quotient von $R$ nach $I$, wenn für alle $R$-Algebren $S$ die Abbildung
eine Bijektion ist.
Ist $\pi \colon R\to \overline{R}$ ein Quotient, so gilt $\mathop{\rm Ker}(\pi ) \supseteq I$ (betrachte $S:=\overline{R}$ und $\psi =\mathop{\rm id}\nolimits $).
Im allgemeinen kann die obige Bedingung wie folgt ausformuliert werden: Sei $f\colon R\to S$ ein Ringhomomorphismus. Der Homomorphismus $f$ faktorisiert genau dann über $\pi $ (d.h., lässt sich schreiben in der Form $f=\psi \circ \pi $ für ein $\psi \colon \overline{R}\to S$), wenn $\mathop{\rm Ker}(f)\supseteq I$. In diesem Fall ist $\psi $ eindeutig bestimmt.
Das bedeutet: Der “wie üblich” konstruierte Quotient $R/I$ (siehe unten) ist ein Quotient im Sinne der obigen Definition — dies ist gerade der Homomorphiesatz.
Die “universelle Eigenschaft”, das heißt die Kenntnis der Mengen $\mathop{\rm Hom}\nolimits _R(\overline{R}, S)$ für alle $S$, zieht nach sich, dass ein Quotient eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus.
Aus der obigen Definition geht nicht hervor, ob ein Quotient in diesem Sinne überhaupt immer existiert. Man kann mit dieser abstrakteren Definition also nicht darum herumkommen, die Konstruktion des Quotienten durchzuführen.
Konstruktion des Quotienten.
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal. Die Relation
definiert eine Äquivalenzrelation auf $R$, deren Äquivalenzklassen wir als die Nebenklassen von $\mathfrak a$ in $R$ bezeichnen. Die Äquivalenzklasse von $x\in R$ ist
Die Menge $R/\mathfrak a$ der Äquivalenzklassen wird durch die (wohldefinierten!) Verknüpfungen
zu einem kommutativen Ring, und die Abbildung $\pi \colon R\to R/\mathfrak a$, $x\mapsto \overline{x}$, die als die kanonische Projektion bezeichnet wird, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus.
Seien $R$ ein Ring und $\mathfrak a \subseteq R$ ein Ideal. Sei $\pi \colon R\to R/\mathfrak a$ die kanonische Projektion.
Ein Ringhomomorphismus $\varphi \colon R \to R’$ faktorisiert genau dann über $\pi $ (d.h. es existiert $\psi \colon R/\mathfrak a\to R’$ mit $\psi \circ \pi =\varphi $), wenn $\mathfrak a \subseteq \mathop{\rm Ker}\varphi $. Der Homomorphismus $\psi $ ist dann eindeutig bestimmt. (Wie oben bemerkt, besagt dieser Teil genau, dass $\pi \colon R\to R/I$ ein Quotient im Sinne der obigen Definition ist.)
In diesem Fall gilt $\mathop{\rm Im}\varphi = \mathop{\rm Im}\psi $, und $\psi $ ist genau dann injektiv, wenn $\mathfrak a = \mathop{\rm Ker}\varphi $.
Seien $R$ ein Ring und $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal. Sei $\pi \colon R\to R/\mathfrak a$ die kanonische Projektion. Dann sind die Abbildungen
zueinander inverse, inklusionserhaltende Bijektionen zwischen der Menge aller Ideale von $R$, die $\mathfrak a$ enthalten, und der Menge aller Ideale von $R/\mathfrak a$.
Einschub: Topologische Räume
Ein grundlegender Bestandteil unserer Vorstellung von “geometrischen Objekten” ist es, Aussagen darüber treffen zu können, ob zwei Punkte nahe beieinander liegen, oder nicht. Besonders direkt spiegelt sich das in einem metrischen Raum wider, d.h., einer Menge $X$ zusammen mit einer Metrik, oder Abstandsfunktion, $d\colon X\times X\to \mathbb R_{\ge 0}$, die symmetrisch ist ($d(x, y)=d(y, x)$), für die $d(x, y)=0$ genau dann gilt, wenn $x=y$, und die die Dreiecksungleichung
erfüllt. Ein wichtiges Beispiel sind die Räume $\mathbb R^n$ mit der Metrik $d(x, y) := || x-y ||$, wobei $||-||$ die euklidische Norm bezeichnet:
Für unsere Zwecke ist dieser Begriff allerdings nicht geeignet, da auf den Räumen, die wir betrachten werden, eine geeignete Metrik nicht existiert. Ein schwächerer/allgemeinerer Begriff ist der des topologischen Raumes. Die Ausgangsüberlegung für dessen Definition besteht aus den folgenden beiden Punkten:
Die Frage, ob eine Abbildung stetig ist, hängt eng mit der Ausgangsfrage zusammen, wann Punkte nahe beieinander liegen. (Denken Sie an das $\varepsilon $-$\delta $-Kriterium für Stetigkeit von Abbildungen $\mathbb R^n\to \mathbb R^m$.)
Sei $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m$ eine Abbildung. Dann gilt: $f$ ist genau dann stetig, wenn für alle offenen 1 Teilmengen $V\subseteq R^m$ das Urbild $f^{-1}(V)$ eine offene Teilmenge von $\mathbb R^n$ ist. Um den Begriff der Stetigkeit zu definieren, müssen wir also nur wissen, welche Teilmengen offen sind. Genauere Informationen über die Metrik sind nicht erforderlich.
Ein topologischer Raum ist eine Menge $X$ zusammen mit einer Familie $\mathcal O$ von Teilmengen von $X$, so dass gilt:
$\emptyset \in \mathcal O$, $X\in \mathcal O$,
Ist $I$ eine Menge und sind $U_i\in \mathcal O$, $i\in I$, so gilt $\bigcup _{i\in I}U_i\in \mathcal O$.
Ist $I$ eine endliche Menge und sind $U_i\in \mathcal O$, $i\in I$, so gilt $\bigcap _{i\in I}U_i\in \mathcal O$.
Wir nennen eine Teilmenge $U\subseteq X$ offen, wenn $U\in \mathcal O$.
Die Familie $\mathcal O$ wird auch als eine Topologie auf $X$ bezeichnet. Ist $X$ eine Menge und sind $\mathcal O$, $\mathcal O’$ Topologien auf $X$, so nennen wir $\mathcal O$ feiner als $\mathcal O’$ (und dementsprechend $\mathcal O’$ gröber als $\mathcal O$), wenn $\mathcal O’\subseteq \mathcal O$. In der Regel sprechen wir einfach von dem topologischen Raum $X$ und erwähnen die Familie $\mathcal O$ nicht eigens.
Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge $Z\subseteq X$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $X\setminus Z$ offen in $X$ ist.
Seien $X$, $Y$ topologische Räume. Eine Abbildung $f\colon X\to Y$ heißt stetig, wenn für alle offenen Teilmengen $V\subseteq Y$ das Urbild $f^{-1}(V)$ offen in $X$ ist.
Sei $X$ ein metrischer Raum, zum Beispiel $X=\mathbb R$ mit der euklidischen Metrik. Mit der obigen Definition offener Mengen wird $X$ zu einem topologischen Raum. Die stetigen Abbildungen metrischer Räume im “üblichen” Sinne sind dann genau die stetigen Abbildungen im Sinne der vorherigen Definition.
Sei $X$ eine Menge. Die diskrete Topologie ist die Topologie, in der alle Teilmengen von $X$ offen sind.
Sei $X$ eine Menge. Die chaotische Topologie (oder Klumpentopologie) ist die Topologie, in der $\emptyset $ und $X$ die einzigen offenen Teilmengen von $X$ sind.
Ein topologischer Raum $X$ heißt quasi-kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn für jede Familie $U_i$, $i\in I$, von offenen Teilmengen von $X$ mit $X=\bigcup _{i\in I} U_i$ gilt: Es gibt eine endliche Teilmenge $I’\subseteq I$ mit $X=\bigcup _{i\in I'}U_i$.
Ein topologischer Raum $X$ heißt Hausdorffsch, wenn für alle $x, y\in X$ mit $x\ne y$ offene Teilmengen $U, V\subseteq X$ existieren mit $x\in U$, $y\in V$, $U\cap V=\emptyset $.
Jeder metrische Raum ist Hausdorffsch. Eine Teilmenge $Z\subseteq \mathbb R^n$ ist genau dann überdeckungskompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Sei $X$ ein topologischer Raum und $Y\subseteq X$ eine Teilmenge. Die Teilraumtopologie auf $Y$ (oder auch die induzierte Topologie) ist die Topologie für die die offenen Mengen in $Y$ genau die Mengen der Form $U\cap Y$ mit $U\subseteq X$ offen sind.
Primideale und maximale Ideale
Sei $R$ ein Ring.
Ein Ideal $\mathfrak p\subset R$ heißt Primideal, falls $\mathfrak p \ne R$ und für alle $x, y\in R$ mit $xy\in \mathfrak p$ gilt: $x\in \mathfrak p$ oder $y\in \mathfrak p$.
Ein Ideal $\mathfrak m\subset R$ heißt maximales Ideal, falls $\mathfrak m \ne R$, und für alle Ideale $\mathfrak m’ \ne R$ mit $\mathfrak m\subseteq \mathfrak m’$ gilt: $\mathfrak m= \mathfrak m’$.
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal.
Das Ideal $\mathfrak a$ ist genau dann ein Primideal, wenn $R/\mathfrak a$ ein Integritätsring ist.
Das Ideal $\mathfrak a$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn $R/\mathfrak a$ ein Körper ist.
Insbesondere gilt: Jedes maximale Ideal ist ein Primideal.
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak a$ ein Ideal von $R$, $\mathfrak a\ne R$. Dann besitzt $R$ ein maximales Ideal $\mathfrak m$ mit $\mathfrak a\subseteq \mathfrak m$. Insbesondere besitzt jeder Ring $R\ne 0$ ein maximales Ideal.
Die Bijektionen in Satz 1.14 erhalten die Eigenschaften Primideal und maximales Ideal.
Das Primspektrum eines Rings
Sei $R$ ein Ring. Wir bezeichnen mit $\mathop{\rm Spec}\nolimits R$ die Menge der Primideale in $R$ und nennen $\mathop{\rm Spec}\nolimits R$ das Spektrum oder Primspektrum von $R$. Wir bezeichnen mit $\mathop{\rm Spm} R$ die Menge aller maximalen Ideale von $R$ und nennen $\mathop{\rm Spm} R$ das Maximalspektrum von $R$. Offenbar ist $\mathop{\rm Spm} R \subseteq \mathop{\rm Spec}\nolimits R$.
Ist $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal, so setzen wir
Sei $R$ ein Ring.
$V((0)) = \mathop{\rm Spec}\nolimits R$, $V((1)) = \emptyset $.
Sind $\mathfrak a_i$, $i\in I$, Ideale von $R$, so gilt
\[ \bigcap _i V(\mathfrak a_i) = V(\sum _i \mathfrak a_i). \]Sind $\mathfrak a$, $\mathfrak b$ Ideale von $R$, so gilt
\[ V(\mathfrak a) \cup V(\mathfrak b) = V(\mathfrak a\cap \mathfrak b). \]
Die Mengen $V(\mathfrak a)$ für alle Ideale $\mathfrak a\subseteq R$ bilden die abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf $\mathop{\rm Spec}\nolimits R$, der sogenannten Zariski-Topologie.
Sei $\varphi \colon R\to R’$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist
eine stetige Abbildung.
Die offenen Teilmengen der Form $D(f):=\mathop{\rm Spec}\nolimits R \setminus V(f)$ heißen ausgezeichnete offene Teilmengen. Sie bilden eine Basis der Topologie, d.h. dass jede offene Teilmenge von $\mathop{\rm Spec}\nolimits R$ eine Vereinigung von Teilmengen dieser Form ist. Außerdem sind endliche Durchschnitte von ausgezeichneten offenen Teilmengen wieder ausgezeichnete offene Teilmengen sind. Es gilt nämlich
1.2 Lokale Ringe, Lokalisierung
Sei $R$ ein Ring. Eine Teilmenge $S\subseteq R$ heißt multiplikative Teilmenge (oder multiplikatives System), falls $1\in S$ und für $s, s’\in S$ stets $ss’\in S$ gilt.
Sei $R$ ein Ring und $S\subseteq R$ eine multiplikative Teilmenge. Die auf der Menge $R\times S$ durch
definierte Relation ist eine Äquivalenzrelation. Wir bezeichnen die Äquivalenzklasse von $(r,s)$ mit $\frac rs$, und die Menge der Äquivalenzklassen mit $S^{-1}R$.
Mit den (wohldefinierten!) Verknüpfungen
wird $S^{-1}R$ zu einem kommutativen Ring mit Nullelement $\frac01$ und Einselement $\frac11$. Die Abbildung $\tau \colon R\to S^{-1}R$, $r\mapsto \frac r1$ ist ein Ringhomomorphismus, und es gilt $\tau (S) \subseteq (S^{-1}R)^\times $. Achtung: Im allgemeinen ist die Abbildung $\tau $ nicht injektiv!
Der Ring $S^{-1}R$ zusammen mit dem Homomorphismus $\tau $ heißt die Lokalisierung von $R$ nach $S$.
Mit den obigen Notationen gilt: Ist $\varphi \colon R \to R’$ ein Ringhomomorphismus, so faktorisiert $\varphi $ über $\tau \colon R\to S^{-1}R$ genau dann, wenn $\varphi (S)\subseteq (R’)^\times $. In diesem Fall ist die Abbildung $\psi \colon S^{-1}R\to R’$ mit $\varphi = \psi \circ \tau $ eindeutig bestimmt.
Ist $R$ ein Integritätsring, $S\subseteq R$ eine multiplikative Teilmenge, so gilt $\frac rs = \frac{r'}{s'}$ genau dann, wenn $rs’ = r’s$. Für einen Integritätsring $R$ erhält man für $S = R\setminus \{ 0 \} $ als Lokalisierung $S^{-1}R$ einen Körper, den sogenannten Quotientenkörper $\mathop{\rm Quot}\nolimits (R)$ von $R$.
Ist $R$ ein Ring, $f\in R$, so ist $S:= \{ 1, f, f^2, \dots \} $ eine multiplikative Teilmenge; in diesem Fall schreibt man $R_f := S^{-1}R$. Ist $R$ ein Ring und $\mathfrak p \subset R$ ein Primideal, so ist $S:= R\setminus p$ eine multiplikative Teilmenge; in diesem Fall schreibt man $R_{\mathfrak p}: = S^{-1}R$.
Sei $R$ ein Ring, $S$ eine multiplikative Teilmenge. Genau dann gilt $R=0$, wenn $0\in S$.
Sei $R$ ein Ring, $S\subseteq R$ eine multiplikative Teilmenge. Dann besteht eine Bijektion
Die Umkehrabbildung bildet $\mathfrak p$ ab auf das von $\tau (\mathfrak p)$ in $S^{-1}R$ erzeugte Ideal (das wir mit $\mathfrak p S^{-1}R$ bezeichnen).
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits R$. Dann heißt
der Restklassenkörper von $R$ in $\mathfrak p$.
Zu jedem $f\in R$, $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits R$, bezeichnen wir mit $f(\mathfrak p)$ das Bild von $f$ in $\kappa (\mathfrak p)$. In dieser Weise kann man die Elemente von $f$ als Funktionen auf $\mathop{\rm Spec}\nolimits R$ auffassen.
Ein Ring $R$ heißt lokaler Ring, wenn $R$ genau ein maximales Ideal $\mathfrak m$ besitzt. Wir bezeichnen dann den Körper $R/\mathfrak m$ als den Restklassenkörper von $R$. Wir schreiben: Sei $(R, \mathfrak m)$ ein lokaler Ring. als Kurzform für: Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak m$. Wir schreiben: Sei $(R, \mathfrak m, k)$ ein lokaler Ring. als Kurzform für: Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak m$ und Restklassenkörper $k$.
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak m\subsetneq R$ ein Ideal. Dann sind äquivalent:
Der Ring $R$ ist lokal mit maximalem Ideal $\mathfrak m$.
Es gilt $R \setminus \mathfrak m \subseteq R^\times $.
Das Ideal $\mathfrak m$ ist maximal und für alle $x\in \mathfrak m$ ist $1+x\in R^\times $.
Beispiele für lokale Ringe sind Körper und die Ringe
Allgemeiner sei $R$ ein Ring und $\mathfrak p \subset R$ ein Primideal. Dann ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak p}$ ein lokaler Ring.
1.3 Radikale
Sei $R$ ein Ring. Das Ideal
heißt das Jacobson-Radikal von $R$.
$\mathop{\rm Jac}\nolimits (\mathbb Z) = 0$.
Ist $k$ ein Körper, so ist $\mathop{\rm Jac}\nolimits (k[X]) = 0$.
Sei $R$ ein Ring. Dann gilt
Sei $R$ ein Ring. Das Ideal
heißt das (Nil-)Radikal von $R$.
Sei $R$ ein Ring. Ein Element $x\in R$ heißt nilpotent, wenn $n \ge 0$ existiert mit $x^n = 0$. Der Ring $R$ heißt reduziert, wenn $R$ keine nilpotenten Elemente $\ne 0$ enthält.
Sei $R$ ein Ring. Dann gilt
Sei $R$ ein Ring und $\mathfrak a$ ein Ideal. Dann ist
und dieses Ideal heißt das Radikal von $\mathfrak a$ und wird mit $\sqrt{\mathfrak a}$ bezeichnet. Gilt $\mathfrak a = \sqrt{\mathfrak a}$, so nennt man $\mathfrak a$ auch Radikalideal.
Ist $R$ ein Ring, und $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal, so gilt $V(\mathfrak a) = V(\sqrt{\mathfrak a})$. Genauer gilt:
Sei $R$ ein Ring. Die Abbildungen $V$, die einem Ideal $\mathfrak a\subseteq R$ die Teilmenge $V(\mathfrak a)\subseteq \mathop{\rm Spec}\nolimits R$ zuordnet, und $I$, die einer Teilmenge $Y\subseteq \mathop{\rm Spec}\nolimits R$ das Ideal $I(Y) = \bigcap _{\mathfrak p\in Y}\mathfrak p$ zuordnet, haben die Eigenschaften
wobei $\overline{Y}$ den Abschluss von $Y$ bezüglich der Zariski-Topologie bezeichnet.
Wir erhalten so zueinander inverse, inklusionsumkehrende Bijektionen
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak a$ ein Ideal von $R$, und seien $\mathfrak p_1, \dots , \mathfrak p_n\in \mathop{\rm Spec}\nolimits R$ mit
Dann existiert ein $i$ mit $\mathfrak a\subseteq \mathfrak p_i$.
Sei $R$ ein Ring, seien $\mathfrak a_1, \dots , \mathfrak a_n\subseteq R$ Ideale, und sei $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits R$. Wenn
so gibt es ein $i$ mit $\mathfrak a_i\subseteq p$. Gilt in der Voraussetzung sogar Gleichheit, so gilt sogar $\mathfrak a_i= p$.
1.4 Moduln
Sei $R$ ein Ring. Eine Menge $M$ zusammen mit Verknüpfungen $+\colon M\times M\to M$, $\cdot \colon R\times M\times M$ heißt $R$-Modul, wenn gilt:
$(M, +)$ ist eine abelsche Gruppe,
für alle $r, s\in R$, $m\in M$ gilt: $(rs)\cdot m = r\cdot (s\cdot m)$,
für alle $r, s\in R$, $m, n\in M$ gilt: $(r+s)m = rm + sm$, $r(m+n) = rm+rn$,
für alle $m\in M$ gilt: $1\cdot m = m$.
Sei $R$ ein Ring. Eine Abbildung $f\colon M\to N$ zwischen $R$-Moduln $M$ und $N$ heißt $R$-Modul-Homomorphismus, falls gilt:
Ein Isomorphismus zwischen $R$-Moduln ist ein Homomorphismus, der einen Umkehrhomomorphismus besitzt.
Ist $R$ ein Körper, so ist ein $R$-Modul nichts anderes als ein $R$-Vektorraum, und ein $R$-Modul-Homomorphismus nichts anderes als ein $R$-Vektorraum-Homomorphismus.
Wie im Vektorraumfall überprüft man leicht, dass jeder bijektive Homomorphismus ein Isomorphismus ist.
Sei $R$ ein Ring. Ist $A$ eine $R$-Algebra (via $\varphi \colon R\to A$), so ist $A$ ein Ring, und trägt gleichzeitig eine $R$-Modulstruktur, so dass die Ringaddition und die Moduladdition übereinstimmen, und die Ringmultiplikation und die Skalarmultiplikation verträglich sind: $r(xy) = (rx)y = x(ry)$ für alle $r\in R$, $x, y\in A$: Wir definieren nämlich die Skalarmultiplikation durch $r\cdot x := \varphi (r)x$, wobei auf der rechten Seite die Ringmultiplikation in $A$ verwendet wird.
Ist andererseits $A$ ein Ring, der gleichzeitig ein $R$-Modul ist, so dass die obigen Verträglichkeiten gelten, so wird $A$ durch $\varphi \colon R\to A$, $r\mapsto r\cdot 1$ zu einer $R$-Algebra.
Genauer sollte man die hier definierten Algebren als assoziative kommutative Algebren mit Eins bezeichnen. Andere Algebren kommen aber in diesem Skript nicht vor.
Seien $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Teilmenge $N\subseteq M$ heißt Untermodul, falls $0\in N$ und $N$ abgeschlossen ist unter Addition und unter Skalarmultiplikation mit Elementen aus $R$.
Weil $(-1)n = -n$ ist ein Untermodul stets abgeschlossen unter Bildung des additiven Inversen. Daher ist eine Teilmenge eines $R$-Moduls genau dann ein Untermodul, wenn sie mit den Einschränkungen von $+$ und $\cdot $ selbst ein $R$-Modul ist.
Ist $R$ ein Ring, so ist $R$ selbst in offensichtlicher Weise ein $R$-Modul. Die $R$-Untermoduln von $R$ sind genau die Ideale von $R$. Ein $\mathbb Z$-Modul ist “dasselbe” wie eine abelsche Gruppe; unter dieser Entsprechung entsprechen sich die Begriffe von Modulhomomorphismus und Gruppenhomomorphismus, und die Begriffe von Untermodul und Untergruppe.
Sei $R$ ein Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt frei, wenn er eine Basis besitzt, d.h. wenn eine Familie $(b_i)_i$ von Elementen aus $M$ existiert, so dass sich jedes $m\in M$ in eindeutiger Weise als Linearkombination der $b_i$ mit Koeffizienten in $R$ schreiben lässt.
Über einen Körper sind alle Moduln frei: Das ist gerade der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Andererseits ist zum Beispiel der $\mathbb Z$-Modul $\mathbb Z/2\mathbb Z$ nicht frei.
Sei $R$ ein Ring.
Die triviale abelsche Gruppe $\{ 0 \} $ kann in eindeutiger Weise zu einem $R$-Modul gemacht werden, den wir auch mit $0$ bezeichen. Dieser Modul heißt der Nullmodul. Der Ring $R$ selbst ist in offensichtlicher Weise ein (freier) $R$-Modul.
Sei $M$ ein $R$-Modul. Der Durchschnitt von Untermoduln von $M$ ist ein Untermodul.
Sind $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul und ist $X\subseteq M$ eine Teilmenge, so ist
\[ \langle X\rangle _R := \bigcap _{N \subseteq M\ \text{Untermodul}, X\subseteq N} N = \left\{ \sum _{i=1}^n a_i x_i;\ n\ge 0, a_i \in R, x_i\in X \right\} \]der kleinste Untermodul von $M$, der $X$ enthält. Wir nennen $\langle X\rangle _R$ den von $X$ erzeugten Untermodul. Ist $X = \{ x_1, \dots , x_n \} $, so schreiben wir $\langle x_1, \dots , x_n\rangle _R := \langle X\rangle _R$. Ein Untermodul $N$ heißt endlich erzeugt, wenn endlich viele Elemente $x_1, \dots , x_n\in N$ existieren mit $N=\langle x_1, \dots , x_n\rangle $.
Sind $N_\nu \subseteq M$ Untermoduln, so heißt der von $\bigcup _\nu N_\nu $ erzeugte Untermodul die Summe der Untermoduln $N_\nu $, in Zeichen $\sum _\nu N_\nu $.
Sei $R$ ein Ring, $f\colon M\to N$ ein Homomorphismus von $R$-Moduln. Dann sind der Kern $\mathop{\rm Ker}f:= f^{-1}(0)$ und das Bild $\mathop{\rm Im}f:= f(M)$ von $f$ Untermoduln von $M$ bzw. von $N$.
Sei $R$ ein Ring. Sind $M$, $N$ zwei $R$-Moduln, so ist die Menge $\mathop{\rm Hom}\nolimits _R(M, N)$ aller $R$-Modul-Homomorphismen von $M$ nach $N$ in natürlicher Weise ein $R$-Modul.
Sei $R$ ein Ring, und sei $(M_i)_{i\in I}$ eine Familie von $R$-Moduln.
Das kartesische Produkt $\prod _i M_i$ ist mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation ein $R$-Modul, das (direkte) Produkt der $M_i$. Das Produkt zusammen mit den Projektionen $\pi _j\colon \prod _i M_i\to M_j$ erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Für alle $R$-Moduln $T$ ist die Abbildung
\[ \mathop{\rm Hom}\nolimits _R(T, \prod _i M_i) \to \prod _i \mathop{\rm Hom}\nolimits _R(T, M_i),\quad f\mapsto (\pi _i\circ f)_i, \]eine Bijektion.
Die Teilmenge
\[ \bigoplus _{i\in I} M_i := \{ (m_i)_i \in \prod _i M_i;\ m_i=0\ \text{ für alle bis auf endlich viele}\ i \} \]ist ein Untermodul von $\prod _i M_i$ und heißt die direkte Summe der $M_i$. Die direkte Summe zusammen mit den Inklusionen $\iota _j\colon M_j\to \bigoplus _i M_i$ erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Für alle $R$-Moduln $T$ ist die Abbildung
\[ \mathop{\rm Hom}\nolimits _R(\bigoplus M_i, T) \to \prod _i \mathop{\rm Hom}\nolimits _R(M_i, T),\quad f\mapsto (f\circ \iota _i)_i, \]eine Bijektion.
Ist speziell $M_i = M$ für alle $i$, so schreiben wir auch $M^I := \prod _i M$, $M^{(I)} := \bigoplus _i M$. Ist $I = \{ 1, \dots n\} $, so schreiben wir $R^n:= R^I$.
Ist die Indexmenge $I$ in der Definition endlich, so stimmen direktes Produkt und direkte Summe überein.
Sei $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul. Der $R$-Modul $M$ ist genau dann frei, wenn eine Menge $I$ existiert, so dass $M\cong R^{(I)}$. Der $R$-Modul $M$ ist genau dan endlich erzeugt, wenn eine endliche Menge $I$ und ein surjektiver $R$-Modul-Homomorphismus $R^I\to M$ existieren.
Direktes Produkt und direkte Summe lassen sich durch universelle Eigenschaften charakterisieren, es handelt sich gerade um das Produkt und das Koprodukt in der Kategorie der $R$-Moduln, siehe 2.3.
Quotient eines Moduls nach einem Untermodul
Ist $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul und $N\subseteq M$ ein Untermodul, so ist die abelsche Gruppe $M/N$ in natürlicher Weise ein $R$-Modul (mit $r(m+N) := (rm)+N$ als Skalarmultiplikation), und es gilt die offensichtliche Version des Homomorphiesatzes.
Ein $R$-Modul $M$ ist genau dann endlich erzeugt, wenn $n\ge 0$ und ein Untermodul $N\subseteq R^n$ existieren mit $M\cong R^n/N$.
Lokalisierung von Moduln
Ist $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul und $S\subseteq R$ eine multiplikative Teilmenge, so kann man analog zur Lokalisierung von Ringen einen $S^{-1}R$-Modul $S^{-1}M$ aller Brüche $\frac ms$, $m\in M$, $s\in S$, konstruieren. Wie im Fall von Ringen gilt
In Analogie zu den Schreibweisen $R_{\mathfrak p}$, $R_f$ schreiben wir auch $M_{\mathfrak p}$, $M_f$.
Das Lemma von Nakayama
Sind $R$ ein Ring, $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul, so sei
Dann induziert die $R$-Modul-Struktur auf $M/\mathfrak a M$ in natürlicher Weise eine $R/\mathfrak a$-Modul-Struktur.
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak a \subseteq \mathop{\rm Jac}(R)$ ein Ideal von $R$ und sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul mit $\mathfrak a M = M$. Dann gilt $M=0$.
Sei $R$ ein Ring, $\mathfrak a \subseteq \mathop{\rm Jac}(R)$ ein Ideal von $R$ und sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Ist $N\subseteq M$ ein Untermodul mit $N + \mathfrak a M = M$, so gilt $N=M$.
Sei $(R, \mathfrak m, k)$ ein lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann ist $M/\mathfrak m M$ in natürlicher Weise ein (endlich erzeugter) Vektorraum über dem Restklassenkörper $k$ von $R$. Sind $x_1, \dots , x_n\in M$ Elemente, deren Restklassen in $M/\mathfrak m M$ ein Erzeugendensystem dieses $k$-Vektorraums bilden, so ist $x_1, \dots , x_n$ ein Erzeugendensystem von $M$.
Sei $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul, $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits R$. Dann heißt
die Faser von $M$ über $\mathfrak p$. Dies ist ein Vektorraum über dem Restklassenkörper $\kappa (\mathfrak p)$.
Sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul, und seien $\mathfrak p \subseteq \mathfrak p’$ Primideale von $R$. Dann gilt $\dim _{\kappa (\mathfrak p)} M(\mathfrak p) \le \dim _{\kappa (\mathfrak p')} M(\mathfrak p’)$.
Sei $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul. Betrachte die Eigenschaften
$M=0$.
Für alle $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits R$ gilt $M_{\mathfrak p} = 0$.
Für alle $\mathfrak m\in \mathop{\rm Spm}\nolimits R$ gilt $M_{\mathfrak m} = 0$.
Für alle $\mathfrak m\in \mathop{\rm Spm}\nolimits R$ gilt $M({\mathfrak m}) = 0$.
Dann sind (1), (2), (3) äquivalent und implizieren (4). Ist $M$ endlich erzeugt über $R$, so sind alle vier Eigenschaften äquivalent.
1.5 Tensorprodukte
Sei $R$ ein Ring.
Seien $M$, $N$ zwei $R$-Moduln. Ein $R$-Modul $T$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $\varphi \colon M\times N \to T$ heißt Tensorprodukt von $M$ und $N$ über $R$, falls für jeden $R$-Modul $P$ und jede bilineare Abbildung $f \colon M\times N\to P$ genau ein $R$-Modulhomomorphismus $\psi \colon T \to P$ existiert, so dass $\psi \circ \varphi = f$.
Seien $M$, $N$ zwei $R$-Moduln. Dann existiert ein Tensorprodukt von $M$ und $N$ über $R$, und es ist eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus.
Wir bezeichnen das Tensorprodukt von $M$ und $N$ über $R$ mit $M\otimes _R N$, und das Bild von $(x,y)\in M\times N$ in $M\otimes _R N$ mit $x\otimes y$.
Ist $K$ ein Körper und sind $V$, $W$ zwei $K$-Vektorräume, so haben wir Identifizierungen
also ist $V\otimes _KW = \mathop{\rm Hom}\nolimits _K(V, W^\vee )^\vee $.
Speziell können wir $K^m\otimes _K K^n$ mit $\mathop{\rm Mat}_{m\times n}(K)$ identifizieren.
Seien $R$ ein Ring und seien $M$, $N$ zwei $R$-Moduln.
Jedes Element von $M\otimes _RN$ ist eine endliche Summe von Elementen der Form $x\otimes y$, $x\in M$, $y\in N$.
Seien $(x_i)_i$ ein Erzeugendensystem von $M$ und $(y_i)_i$ ein Erzeugendensystem von $N$. Dann ist $(x_i\otimes y_i)_i$ ein Erzeugendensystem von $M\otimes _RN$.
Wir haben kanonische Isomorphismen $R\otimes _RM \overset {\sim }{\to }M$, $r\otimes m\mapsto rm$ und $M\otimes N\overset {\sim }{\to }N\otimes M$, $m\otimes n\mapsto n\otimes n$.
Das Tensorprodukt ist “funktoriell” im folgenden Sinne: Sind $\varphi \colon M\to M’$ und $\psi \colon N\to N’$ zwei $R$-Modulhomomorphismen, so erhalten wir einen $R$-Modul-Homomorphismus
\[ \varphi \otimes \psi \colon M\otimes _RN \to M’\otimes _RN’,\quad m\otimes n\mapsto m’\otimes n’. \]Diese Konstruktion ist verträglich mit der Verkettung von Abbildungen.
Seien $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln, seien $x_i\in M$, $y_i\in N$ mit
Dann existieren endlich erzeugte Untermoduln $M_0\subseteq M$, $N_0\subseteq N$, so dass $x_i\in M_0$, $y_i\in N_0$ für alle $i$ und so dass
Analog zum obigen Fall kann man für multilineare (anstelle von bilinearen) Abbildungen vorgehen. Man erhält dann Tensorprodukte $M_1\otimes _RM_2\otimes \cdots \otimes _RM_n$. Man hat natürliche Identifikationen
und entsprechend für mehr als 3 Faktoren.
Seien $A$, $B$ Ringe, sei $M$ ein $A$-Modul, $P$ ein $B$-Modul, und sei $N$ ein $(A, B)$-Bimodul, d.h. es sei $N$ ein $A$-Modul und gleichzeitig ein $B$-Modul, so dass $(ax)b = a(xb)$ für alle $a\in A$, $b\in B$, $x\in N$. Wir schreiben hier die Skalarmultiplikation mit Elementen von $B$ als Multiplikation von rechts.
Dann ist $M\otimes _AN$ ein $B$-Modul (“von rechts”), und $N\otimes _BP$ ein $A$-Modul (“von links”), und
ist ein Isomorphismus von $(A,B)$-Bimoduln, mit dem wir stets die beiden Seiten identifizieren.
Basiswechsel
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus und $M$ ein $A$-Modul. Dann wird der $A$-Modul $B\otimes _AM$ durch die (wohldefinierte!) Skalarmultiplikation
zu einem $B$-Modul. Wir sagen, der $B$-Modul $B\otimes _AM$ entstehe aus $M$ durch Basiswechsel mit $\varphi $.
Der Basiswechsel hat die folgende universelle Eigenschaft: Für alle $B$-Moduln $N$ ist die Abbildung
bijektiv mit Umkehrabbildung $\psi \mapsto (b\otimes m\mapsto b\psi (m))$. (Hier wird auf der rechten Seite $N$ als $A$-Modul via $\varphi $ aufgefasst, also $a\cdot n := \varphi (a)n$, vgl. Bemerkung 1.73.
Sei $R$ ein Ring, $S\subseteq R$ eine multiplikative Teilmenge, $\varphi \colon R\to S^{-1}$ der natürliche Homomorphismus und $M$ ein $R$-Modul. Dann ist
\[ S^{-1}R\otimes _RM \to S^{-1}M,\quad \frac xs \otimes m \mapsto \frac{xm}s \]ein Isomorphismus von $S^{-1}R$-Moduln (mit Umkehrabbildung $\frac ms\mapsto \frac1s\otimes m$). Dies folgt auch ohne explizite Rechnung daraus, dass die Lokalisierung die universelle Eigenschaft des Basiswechsels erfüllt.
Sei $R$ ein Ring und $\mathfrak a$ ein Ideal. Sei $\varphi \colon R\to R/\mathfrak a$ die kanonische Projektion. Dann ist
\[ R/\mathfrak a\otimes _R M \to M/\mathfrak aM,\quad \overline{x} \otimes m \mapsto \overline{xm} \]ein Isomorphismus von $R/\mathfrak a$-Moduln (mit Umkehrabbildung $\overline{m}\mapsto 1\otimes m$). Dies folgt auch ohne explizite Rechnung daraus, dass der Quotient $M/\mathfrak a M$ die universelle Eigenschaft des Basiswechsels $R/\mathfrak a \otimes _RM$ erfüllt.
Sei $R$ ein Ring und $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits R$ ein Primideal. Sei $M$ ein $R$-Modul. Dann gilt
\[ M(\mathfrak p) = M\otimes _R \kappa (\mathfrak p). \]
Ist andererseits $\varphi \colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus und $N$ ein $B$-Modul, so kann man $M$ als $A$-Modul auffassen durch die Skalarmultiplikation $a\cdot m:= \varphi (a) m$. Wir bezeichnen den so erhaltenen $A$-Modul in der Regel wieder mit $M$.
Tensorprodukt von Algebren
Seien $R$ ein Ring und $A$, $B$ zwei $R$-Algebren. Dann wird $A\otimes _R B$ mit der (wohldefinierten!) Multiplikation
zu einem Ring, und vermöge des Ringhomomorphismus $R\to A\otimes _RB$, $x\mapsto x\otimes 1 (= 1\otimes x)$ zu einer $R$-Algebra. Mit den Ringhomomorphismen $\alpha :A\to A\otimes _RB$, $a\mapsto a\otimes 1$ bzw. $\beta :B\to A\otimes _RB$, $b\mapsto 1\otimes b$ können wir $A\otimes _RB$ auch als $A$-Algebra bzw. als $B$-Algebra auffassen.
Seien $R$ ein Ring und seien $A$, $B$ zwei $R$-Algebren.
Es existiert ein kommutatives Diagramm
von Ringhomomorphismen, und für jeden Ring $T$ zusammen mit Ringhomomorphismen $f: A\to T$, $g: B\to T$ mit $f\circ \varphi = g\circ \psi $ existiert ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus $h:A\otimes _RB \to T$, so dass $f = h \circ \alpha $, $g = h\circ \beta $.
Mit den obigen Notationen ist $h(a\otimes b) = f(a)\cdot g(b)$.
Seien $A$, $B$ zwei $R$-Algebren. Dann sind die Abbildungen $\alpha \colon A\to A\otimes _RB$, $a\mapsto a\otimes 1$, und $\beta \colon B\to A\otimes _RB$, $b\mapsto 1\otimes b$, Homomorphismen von $R$-Algebren.
Für jede $R$-Algebra $C$ und $R$-Algebren-Homomorphismen $f\colon A\to C$, $g\colon B\to C$ existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus $h\colon A\otimes _RB\to C$ von $R$-Algebren, so dass $h\circ \alpha = f$, $h\circ \beta = g$.
Mit anderen Worten: Das Tensorprodukt $A\otimes _RB$ (zusammen mit den Abbildungen $\alpha $ $\beta $) erfüllt die universelle Eigenschaft des Koprodukts in der Kategorie der $R$-Algebren, siehe Definition 2.3.
Ist $B$ eine $A$-Algebra und ist $\mathfrak a\subseteq A$ ein Ideal, so gilt $A/\mathfrak a \otimes _AB = B/\mathfrak aB$.
Ist $B$ eine $A$-Algebra und ist $S\subseteq A$ eine multiplikative Teilmenge, so gilt $S^{-1}A\otimes _AB = S^{-1}B$.
Ist $B$ eine $A$-Algebra, so gilt $A[X]\otimes _AB = B[X]$.