Einführung
Die Kommutative Algebra behandelt die Theorie der kommutativen Ringe und von Moduln über solchen Ringen. Der Begriff des Moduls über einem Ring ist die natürliche Verallgemeinerung des Begriffs des Vektorraums über einem Körper. Zwei wichtige Beispielklassen kommutativer Ringe sind
Polynomringe über einem (algebraisch abgeschlossenen Körper) und ihre Quotienten nach Idealen. Ist $k$ ein (algebraisch abgeschlossener) Körper und $I=(f_1, \dots , f_m) \subseteq R = k[X_1, \dots , X_n]$ ein Ideal, so reflektiert der Ring $R/I$ viele geometrische Eigenschaften der gemeinsamen Nullstellenmenge
der Polynome $f_i$ (siehe Korollar 3.24, Korollar 3.25). Wegen der Möglichkeit, geometrische Eigenschaften in algebraische Eigenschaften eines Rings zu übersetzen, ist die Kommutative Algebra ein essenzielles Hilfsmittel der modernen algebraischen Geometrie.
Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper. Sei $K/\mathbb Q$ eine endliche Körpererweiterung, und sei
Der Ring $\mathcal O_K$ heißt der Ring der ganzen Zahlen von $K$. Er reflektiert wesentliche zahlentheoretische Eigenschaften des Körpers $K$. Dies wird in der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie genauer untersucht.
Im Sinne der Übersetzung von algebraischen zu geometrischen Fragen (und umgekehrt), werden wir für jeden Ring $R$ die Menge $\mathop{\rm Spec}\nolimits R$ aller Primideale von $R$ zu einem “geometrischen Objekt” zu machen (einem topologischen Raum), siehe Abschnitt 1.1. In der algebraischen Geometrie wird diese Sichtweise dann noch wesentlich ausgebaut. Die so verfügbare geometrische Intuition kann dann auch auf Situationen angewendet werden, die von zahlentheoretischen Fragen herkommen, etwa von Ringen der Form $\mathcal O_K$.
Literatur zur Kommutativen Algebra
Es gibt eine Reihe von sehr guten Büchern zur Kommutativen Algebra:
Atiyah, Macdonald [ AM ] . Einer der “Klassiker”, der praktisch alle Ergebnisse der Vorlesung, und einiges darüberhinaus enthält. Ein großer Teil der Vorlesung lässt sich in diesem Buch direkt “wiederfinden”. Im Abschnitt über Dedekindringe gehen wir allerdings etwas anders vor.
Matsumura [ M2 ] . Ein sehr umfangreiches Buch, das über den Stoff von [ AM ] deutlich herausgeht. Insgesamt knapper geschrieben als [ AM ] . Von Matsumura gibt es auch noch das ältere Buch [ M1 ] , das zwar einen großen Durchschnitt mit dem neueren Buch hat, aber auch einige Themen abhandelt, die sich in letzterem nicht finden.
Bourbaki [ B ] . Die “Enzyklopädie” zur Kommutativen Algebra. Sehr umfangreich und ausführlich geschrieben, wegen der vielen Rückverweise ist es aber vielleicht nicht ganz leicht, sich dort auf Anhieb zurecht zu finden.
Eisenbud [ E ] . Ein relativ neues Buch zur kommutativen Algebra, das an vielen Stellen an die algebraische Geometrie anknüpft.
Zariski, Samuel [ ZS ] . Ein weiterer Klassiker, der aber insgesamt ein bisschen in die Jahre gekommen ist.