Kommutative Algebra, SS 2023

Inhalt

6.1 Definition und einfache Eigenschaften

Definition 6.1

  1. Sei \(X\) ein topologischer Raum. Wir nennen \(X\) irreduzibel, wenn \(X\) nicht leer ist und die folgenden äquivalenten Eigenschaften gelten:

    1. Sind \(A, B\subseteq X\) abgeschlossene Teilmengen mit \(X = A\cup B\), so gilt \(A=X\) oder \(B=X\).

    2. Sind \(U, V\subseteq X\) nicht-leere offene Teilmengen von \(X\), so gilt \(U\cap V\ne \emptyset \).

    Eine Teilmenge \(Z\subseteq X\) heißt irreduzibel, wenn sie als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie irreduzibel ist.

  2. Sei \(X\) ein topologischer Raum. Die Dimension \(\dim X\) von \(X\) ist das Supremum aller Längen \(\ell \) von Ketten

    \[ Z_0 \subsetneq Z_1 \subsetneq \cdots \subsetneq Z_\ell \]

    von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von \(X\). Per Konvention setzen wir \(\dim \emptyset = -\infty \).

Ist beispielsweise \(X\) ein einziger Punkt, so gilt \(\dim X = 0\). Ist \(X\) irreduzibel, \(\dim X {\lt} \infty \) und \(Z\subsetneq X\) eine echte abgeschlossene irreduzible Teilmenge, so gilt \(\dim Z {\lt} \dim X\).

Bemerkung 6.2

Dieser Dimensionsbegriff ist für die topologischen Räume, die in der algebraischen Geometrie auftreten, gut geeignet — speziell für Räume der Form \(\operatorname{Spec}R\) für einen Ring \(R\). Für andere topologische Räume ist er aber nicht unbedingt sinnvoll.

Lemma 6.3

Sei \(R\) ein Ring. Eine abgeschlossene Teilmenge \(V(\mathfrak a)\subseteq \operatorname{Spec}R\) für ein Ideal \(\mathfrak a\) ist genau dann irreduzibel, wenn das Radikal \(\sqrt{\mathfrak a}\) (Satz 2.59) ein Primideal ist.

Definition 6.4

Sei \(R\) ein Ring. Die (Krull-)Dimension \(\dim R\) von \(R\) ist das Supremum aller Längen \(\ell \) von Ketten

\[ \mathfrak p_0 \supsetneq \mathfrak p_1 \supsetneq \cdots \supsetneq \mathfrak p_\ell \]

von Primidealen in \(R\). Für den Nullring setzen wir \(\dim 0 = -\infty \).

Lemma 6.5

Sei \(R\) ein Ring. Dann gilt \(\dim R = \dim \operatorname{Spec}R\).

Als Folgerung aus dem going-up-Theorem (Theorem 4.19) erhält man das folgende Ergebnis.

Satz 6.6

Sei \(\varphi \colon A\to B\) ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus. Dann gilt \(\dim A = \dim B\).

Insbesondere zeigt der Satz, dass in der Situation des Noether-Normalisierungslemma Thm. 4.25 die Zahl \(n\) als \(\dim R\) eindeutig bestimmt ist.